Gino Fano - Alessandro Terracini, LEzioni di geometria analitica e proiettiva, Paravia, Torino 1957 

INDICE

Prefazione

Prefazione alla seconda edizione

Introduzione

Parte Prima. geometria analitica del piano.
	 1. Ascisse sulla retta e altre nozioni preliminari.
  1. Relazioni segmentarie sulla retta. 
  2. Coordinate ascisse sulla retta.
  3. Distanza di due punti. Altre applicazioni.
  4. Trasformazione delle ascisse.
  5. Rapporto semplice di tre punti di una retta.
  6. Equazione di un gruppo di punti.
  7. Angoli nel fascio di rette.
  8. Funzioni goniometriche degli angoli.
	Coordinate tangenti nel fascio di rette.
	Teorema dei seni.
  9. Rapporto semplice di tre rette di un fascio.
 10. Piani orientati.
 11. Fascio di piani.
	Angolo diedro di due piani.
	Angolo di due rette nello spazio.

	 2. Coordinate cartesiane nel piano.
12. -

	 3. Equazione di un aretta.
	- Rette parallele.
	- Fasci di rette.
13. Punto che con due punti dati forma un rapporto semplice assegnato.
14. Condizione di allineamento di tre punti.
15. Equazione di una retta.
16. Posizioni particolari di una retta rispetto agli assi.
17. Alcune forme particolari dell'equazione di una retta.
	Coefficiente angolare di una retta.
18. Costruzione di una retta avente una data equazione
19. Retta generica passante per un punto dato.
20. Intersezione di due rette.
21. Fascio di rette.
22. Condizione perchè tre rette appartengaano ad un medesimo fascio.
23. Rete costituita dalle rette di un piano.
24. Notazione abbreviata.

	 4. Cenni sulle proiezioni parallele.
	- Trasformazione delle coordinate cartesiane.
	- Area del triangolo.
25. Proiezioni parallele.
26. Proiezioni ortogonali.
27. Trasformazione delle coordinate degli angoli.
28. Caso particolare degli assi ortogonali.
29. Segno di un'area piana.
30. Area del triangolo.

	 5. Distanze e angoli.	
31. Distanza di due punti.
32. Coseni direttori di una retta.
	Angolo di due rette.
33. Applicazione a rette di data equazione.
34. Condizione di di perpendicolarità di due rette.
35. Distanza di un punto da una retta.
	Equazione normale di una retta.
36. Alcune applicazioni.
	 6. Coordinate polari.
37. Coordinate polari.
38. Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari, e viceversa.
39. Coordinate curvilinee.

	 7. Linee piane e loro rappresentazione analitica.
40. Linee piane, loro equazioni.
41. Equazione di una retta sotto la forma F(x,y) = 0.
42. Esempi ed osservazioni varie.
43. Equazione di una linea avente una legge di generazione assegnata.
44. La geometria analitica come metodo generale per lo studio delle linee piane.
45. Equazione di una linea in coordinate polari.
46. Linee piane algebriche e trascendenti.
	Ordine di una linea algebrica.
47. Intersezioni di due rette.
	Caso particolare di una linea piana algebrica e di una retta.
48. Equazioni parametriche di una linea.
	Linee razionali.
49. Tangente a una linea piana in un suo punto.

	 8. Elementi immaginari.
50. Punti immaginari.
51. Rette e curve immaginarie.
	Rette isotrope.
52. Rette complesse orientate.
	Distanza di due punti; ascisse sulle rette complesse.
53. Nuovo esame di alcuni luoghi geometrici, tenendo conto dei punti immaginari.
54. Ancora sulle intersezioni di una linea piana algebrica con una retta.
55. Intersezioni di due linee algebriche.
	Teorema di Bézout.

	 9. Il cerchio.
56. Equazioni del cerchio.
	Cerchio passante per tre punti dati.
57. Intersezioni di un cerchio con una retta.
	Tangente a un cerchio in un suo punto.
57b Altri problemi sul cerchio.
57t Polarità rispetto ad un cerchio.
58. Potenza dii un punto rispetto ad un cerchio.
59. Asse radicale di due cerchi.
	Fascio di cerchi.
60. Fasci di cerchi ortogonali.
61. Il problema di Pothenot.

	10. Le coniche come luoghi geometrici e alcune loro proprietà.
62. Luogo dei punti le cui distanze da due punti dati hanno una data somma, oppure una data differenza.
63. Ellisse.
	Proprietà fondamentali.
64. Alcune costruzioni notevoli dell'ellisse.
65. Equazioni parametriche dell'ellisse.
66. Iperbole.
	Proprietà fondamentali.
67. Equazione dell'iperbole riferita agli asintoti.
68. Luogo dei punti le cui distanze da un punto e da una retta dati hanno un rapporto assegnato.
69. Luoghi algebrici di 2° grado.
70. Equazioni polari delle coniche rispetto a un fuoco.

	11. Altri esempi di linee piane e applicazioni.
71. Curve di Cassini; lemniscata.
72. Cissoide.
73. Concoide di Nicomede.
74. Concoide del cerchio.
75. Cenni sulla risoluzione grafica delle equazioni.
76. Curve esponenziali e logaritmiche.
	Catenaria.
77. Cicloidi.
78. Epicicloidi ed ipocicloidi.
79. Evolvente del cerchio.
80. Alcune estensioni dei diagrammi sinusoidali.
81. Cenno sulla rappresentazione anaalitica delle linee empiriche.
82. Sistemi &infinite;1.
83. Ancora sulle coordinate curvilinee: coordinate ellittiche.
84. Inviluppi di rette; linee luogo e linee inviluppo.

Parte Seconda. Geometria analitica dello spazio.
	 1. Coordinate cartesiane nello spazio.
85. Coordinate cartesiane nello spazio.

	 2. Equazione di un piano.
	- Equazioni di una retta.
	- Relazioni di posizione fra punti, piani e rette.
86. Punto che forma con due punti dati un rapporto semplice assegnato.
87. Condizione di allineamento di tre punti.
88. Condizione di complanarità.
89. Equazione di un piano.
90. Posizioni particolari di un piano rispetto agli assi.
	Piani per un punto.
91. Equazione di un piano sotto forma segmentaria.
92. Intersezione di due piani.
	Condizione di parallelismo.
93. Fascio di piani.
94. Intersezione di tre piani.
	Stella di piani.
95. Sistema di tutti i piani dello spazio.
96. Equazioni di una retta nello spazio.
97. Retta congiungente due punti dati.
	Retta generica passante per un punto dato.
98. Condizione di parallelismo per rette.
99. Intersezione di una retta con un piano.
	Condizione di parallelismo.
100. Condizione di complanarità.

	 3. PProiezioni parallele.
	- Trasformazione delle coordinate cartesiane.
	- Volume del tetraedro.
101. Proiezioni parallele a un dato piano.
102. Proiezioni parallele, in particolare proiezioni ortogonali sopra un piano.
103. Trasformazione delle coordinate cartesiane.
104. Caso delle coordinate ortogonali.
105. Angoli di Eulero.
106. Volume del tetraedro.

	 4. Distanze e angoli.
107. Distanza di due punti.
108. Coseni direttori di una retta.
	Angoli di due rette.
109. Coseni direttori di una retta di date equazioni.
110. Angolo ddi due rette di date equazioni.
	Condizione di ortogonalità di due rette.
111. Proprietà dei determinanti ortogonali.
112. Distanza di un punto da un piano.
	Equazione normale di un piano.
113. Condizione di perpendicolarità fra un piano e una retta.
114. Angolo diedro di due piani.
	Condizione di perpendicolarità di due piani.
115. Angolo di una retta e di un piano.
116. Riassunto delle condizioni di parallelismo ed ortogonalità di rette e di piani.
117. Perpendicolare da un punto a una retta.
	Distanza relativa.
	Proiezione ortogonale di una retta su un piano.
118. Distanza di due rette sghembe; loro perpendicolare comune.
	Momento di due rette.
	Verso di una coppia di rette.
119. Area di un triangolo.

	 5. Coordinate polari nello spazio.
120. Coordinate polari.
121. Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari, e viceversa.
122. Coordinate cilindriche.
	Coordinate curvilinee.
	 6. Superficie e linee nello spazio.
	- Loro rappresentazione analitica.
123. Equazione di una superficie.
124. Esempi e osservazioni avrie.
125. Cenno sugli elementi immaginari.
126. Superficie algebriche e trascendenti.
	Ordine di una superficie algebrica.
127. Sfera.
	Cono isotropo.
128. Superficie di rotazione.
129. Rappresentazione delle linee nello spazio.
130. Applicazioni.
130b Altri esempi di luoghi geometrici.
131. Rappresentazione parametrica di una superficie.
132. Piano tangente a una superficie in un punto.
133. Cenno sulle superficie rigate.
134. Elica circolare.
135. Elicoide conoide retto.
	Superficie elicoidali in genere.

	 7. Cenno sulle quadriche.
136. Generalità sulle quadriche.
137. Ellissoide (reale).
138. Iperboloide a una falda.
139. Iperboloide a due falde.
140. Ellissoide immaginario.
141. Paraboloide ellittico.
142. Paraboloide iperbolico.
143. Coordinate ellittiche.

	 8. Cenni sulla rappresentazione monografica delle equazioni fra tre variabili.
144. Generalità.
145. Abbaco cartesiano.
146. uso di scale funzionali.
147. Disgiunzione delle variabili.
148. Nomogrammi a punti allineati.
149. Cenno su altri nomogrammi.

	 9. Teoria dei vettori. 
150. Oggetto della teoria.
151. Segmenti orientati equipollenti.
152. Vettori.
153. Rappresentazione cartesiana dei vettori.
154. Somma e differenza di vettori.
155. Prodotto di un vettore per un numero reale.
156. Prodotto scalare o interno di due vettori.
157. Prodotto vettoriale (o esterno).
158. Doppio prodotto vettoriale.
	Prodotti misti.
159. Cenni sul calcolo vettoriale come metodo di geometria analitica.
160. Cenno sull'applicazione del calcolo vettoriale alle linee di superficie.
161. Cenno sui campi scalari e vettoriali.
162. Cursori.
	Momento rispetto a un punto e rispetto a una retta.
163. Coordinate di un cursore.
164. Cenno sulle coordinate di retta nello spazio.

Parte Terza. Elementi di geometria proiettiva.
	 1. Prime nozioni fondamentali.
165. Figure e loro elementi.
	Proiezioni e sezioni.
166. Elementi impropri.
167. Primo gruppo di proposizioni fondamentali.
168. Ancora sulle proiezioni e sezioni
169. Forme geometriche fondamentali.
170. I sue sensi in una forma di 1a specie.
	segmenti; coppie che si separano.
171. Legge di dualità nello spazio.
172. Altri esempi di proprietà grafiche e di dualit6agrave;.
173. Teorema dei triangoli prospettivi e omologici (o di Desargues).
174. Legge di dualità nel piano.
175. Teorema dei quadrangoli omologici.
176. Oggetto della geometria proiettiva.

	 2. Coordinate con la geomteria analitica.
	- Coordinate cartesiane omogenee.
177. Coordinate cartesiane omogenee nel piano.
178. Equazione omogenea di un alinea piana.
	Punti impropri di questa linea.
179. Coordinate omogenee di una retta nel piano.
	Equazione di un punto in coordinate di rette.
180. Questioni fondamentali grafiche in coordinate omogenee.
	Fondamento analitico della legge di dualità nel piano.
181. Inviluppi di rette.
182. Coordinate cartesiane omogenee nello spazio.
	Equazione omogenea di una superficie.
183. Coordinate omogenee di un piano.
	Fondamento analitico della legge di dualità nello spazio.
	Inviluppi &infinite;2 di piani.

	 3. Birapporto.
	- Gruppi armonici.
184. Birapporto di quattro elementi, e suo carattere proiettivo.
185. Coordinate proiettive nelle forme di 1a specie.
186. Birapporto di quattro punti di date ascisse.
	Birapporto di quattro numeri, e sua invariabilità nelle  sostituzioni lineari.
187. Birapporto di quattro elementi complessi.
	Birapporto espresso mediante le coordinatee proiettive.
188. Relazioni fra i vari birapporti formati con gli stessi quattro elementi.
189. Gruppi armonici.
190. Costruzione grafica dei gruppi armonici.
	Propriet6agrave; armoniche del quadrangolo e quadrilatero completo.
191. Coordinate proiettive omogenee di un punto e retta nel piano.
192. Coordinate proiettive omogenee di punto e piano nello spazio.

	 4. Corrispondenze tra forme di 1a specie.
193. Definizione.
	Esempi.
	Proprietà fondamentali.
194. Teorema fondamentale.
195. Le proiettività come corrispondenze biunivoche conservanti i gruppi armonici.
	Teorema di Staudt.
196. Forme prospettive.
	Altri esempi di proiettività.
197. Costruzioni di proiettività.
	Forme proiettive complanari in posizione generale.
	Asse e centro di collineazione.
198. Elementi uniti nelle proiettività tra forme sovrapposte.
199. Costruzioni di proietività tra forme sovrapposte.
200. Proiettività.
201. Costruzione di proiettività tra punteggiate a sostegni sghembi.
202. Equazione di una proiettività.
203. Applicazioni.
204. Punti limiti nelle punteggiate proprietà proiettive.
	Potenza della proiettivit6agrave;.
205. Puntegiate simili e eguali.
206. Fasci propri di rette direttamente o inversamente eguali.
	Angoli retti corrispondenti in fasci propri proiettivi.
207. Notizie sulla costruzione grafico-deduttiva della geometria proiettiva.

	 5. Involuzione nelle forme di 1a specie.
208. Definizione.
	Esempi.
209. Proprietà fondamentali.
210. Teorema di Desargues.
	Costruzione di involuzione.
211. Equazione di un'involuzione.
	Condizione analitica perchè tre coppie appartengano a una stessa involuzione.
212. Proprietà metriche dell'involuzione sulla punteggiatura propria.
	Sua costruzione col fascio di cerchi.
213. Involuzione circolare.
	Involuzione assoluta.

	 6. Proiettività tra cerchi.
	- Involuzione sul cerchio.
	- Problemi di 2° grado.
214. Cerchi punteggiati.
	Proiettività fra cerchi.
215. Proiettivvità fra cerchi sovrapposti.
	Punti uniti.
216. Costruzione (di Steiner) degli elementi uniti di una proiettività tra forme di 1a specie sovrapposte.
217. Teorema di Pascal.
218. Involuzione sul cerchio.
219. Applicazioni.
220. Problemi di 2o.
221. Metodo di falsa posizione.

	 7. Corrispondenze proiettive tra forme di 2a specie.
	- Piani omografici.
	- Omologia piana.
222. Definizione.
	Teorema fondamentale.
223. Omografia e reciprocit6agrave;.
224. Modi di individuare una produttività.
	Costruzioni di proiettività.
225. Sistemi piani prospettivi.
226. Elementi uniti di un'omografia tra piani sovrapposti.
227. Omologia piana.
228. Rappresentazione analitica dell'omografia.
229. Determinazione analitica degli elementi uniti di un'omografia tra due piani sovrapposti.
230. Rette limiti di due piani omografici.
231. Piani affini, simili, congruenti.
232. Omologia affine.
	Omotetia, equipollenza.
233. Modo di far coincidere due piani sovrapposti eguali.
234. Stelle proprie sovrapposte congruenti.
235. Trasformazioni per raggi reciproci.
236. Affinità circolari.

	 8. Polarità piana.
237. Rappresentazione analitica di una reciprocità piana.
238. Polarità piana.
239. Teorema fondamentale.
240. Forme di 1a specie mutuamente polari.
	Involuzioni di elementi coniugati nelle forme di 1a specie.
241. Altri modi di individuare una polarit6agrave; piana.
	Teorema di Hesse-Staudt.
242. Conica fondamentale di una polarità.
243. Criterio geometrico distintivo  delle  polarità uniformi e non uniformi.
244. Polarità ortogonale nella stella.
	Polarità assoluta.

Parte Quarta. Le coniche.
	 1. Nozioni generali.
	- Polarità rispetto a una conica.
245. Preliminari; esempi.
246. Numero deii punti che individuano una conica.
247. Intersezioni di una conica con una retta.
	Punti impropri di una conica; le tre specie di coniche.
248. Coniche riducibili.
249. Le coniche come linee di 2o ordine e come inviluppi di 2a classe.
250. Proprietà fondamentali della polarità rispetto ad una conica.
251. Teorema di Seydewitz.
252. La polarità rispetto a  una conica dal punto di vista analitico.

	 2. Generazione proiettiva.
	- Teoremi di Pascal e Brianchon.
	- Applicazione a costruzioni.
253. generazione proiettiva delle coniche (teorema di Steiner).
254. Coniche individuate per mezzo di cinque punti o tangenti.
	Problemi relativi.
255. Altri modi di individuare una conica per punti o per tangenti.
256. Casi particolari metrici.
	Applicazioni allaparabola.
257. Applicazione dell'iperbole.
258. Teoremi di Pascal e Brianchon; loro inversi; casi particolari.
259. Applicazioni a problemi.
260. Costruzione della polare di un punto dato, o del polo di una retta data.
261. Coniche per le quali è noto qualche elemento della relativa polarità.
262. Le coniche come forme elementari di 1a specie.
263. Coniche omografiche.
264. Relazioni fra punti interni od esterni a una conica, e rette esterne o secanti.

	 3. Teorema di Desargues.
	- Fasci e schiere di coniche.
265. Teorema di Desargues, casi particolari, e teoremi duali.
266. Teorema di Sturm, casi particolari, e teoremi duali.
267. Fascio e schiera di coniche dal punto di vista analitico.
268. Problemi in applicazione del teorema di Sturm.

	 4. Diametri, centro, assi.
269. Diametri, centro, diametri coniugati.
270. Alcune proprietà diametrali delle coniche a centro.
271. Assi di una conica.
	Caso del cerchio.
272. le coniche come proiezioni del cerchio.
273. Rappresentazione analitica dei diametri, centro, asintoti, assi.
274. Costruzione grafica del centro degli assi.
275. Costruzione di una conica a centro, dati due diametri coniugati in posizione e grandezza.
276. Polarità uniforme come antipolarità rispetto a una conica.
277. Coniche affini.

	 5. Forme ridotte delle equazioni delel coniche.
278. Equazioni ridotte.
279. alcune proprietà delle coniche a centro, ricavate dalle equazioni ridotte.
280. Proprietà della parabola.
281. Costruzione degli assi di un'ellisse individuata da due diametri coniugati.
282. Coniche coniugate.
283. Coniche simili.
284. Invarianti di una conica rispetto a trasformazioni di coordinate ortogonali.
	Applicazione al calcolo delle equazioni ridotte.
285. Cenno sugli invarianti nel caso degli assi obliqui.
	Teoremi di Apollonio.

	 6. Fuochi e proprietà focali.
286. Definizione.
	Fuochi delle singole specie di coniche.
287. Direttrici di una conica.
288. Proprietà focali.
289. Altre proprietà focali della parabola.
290. Coniche confocali.
291. Costruzioni di coniche conoscendone fuochi e tangenti.
292. Costruzioni di coniche conoscendone fuochi e punti.

Parte Quinta. Complementi di geometria dello spazio.
	 1. Corrispondenze proiettive tra forme di 3a specie.
	- Spazi omografici.
293. Generalità.
	Modi di individuare una proiettività.
294. Rappresentazione analitica dell'omografia.
	Elementi uniti.
	Omologia,  omografie assiali e biassiali.
295. Omografie involutorie.
296. Casi particolari metrici di omografie.
	Affinità, similitudini, congruenze.
297. Trasformazioni per raggi reciproci nello spazio.

	 2. Polarità nello spazio.
	- Polarità ordinarie e nulle.
298. Definizione.
	Polarità ordinarie e nulle.
299. Proprietà caratteristiche delle due specie di polarità.
300. Quadrica fondamentale di una polarità ordinaria.
	Classificazione delle polarità.

	 3. Quadriche.
	- Polarità e altre proprietà proiettive.
301. Generalità.
	Intersezioni con una retta o con un piano.
302. Coni quadrici.
303. Polarità rispetto a una quadrica non degenere.
304. Quadriche rigate.
	I due sistemi di rette giacenti su di esse.
305. Applicazioni.

	 4. Propriet6agrave; metriche delle quadriche.
306. Classificazione metrica delle quadriche.
307. Piani diametrali, diametri, centro; piani principali, assi.
308. Rappresentazione analitica degli stessi elementi.
309. Sezioni circolari di una quadrica.
310. Invarianti di una quadrica rispetto a trasformazioni di coordinate ortogonali.
	Riduzione dell'equazione di una quadrica a forma ridotta.
311. Quadriche confocali.
312. Coniche focali e fuochi di una quadrica.

	 5. Coordinate proiettive omogenee di una retta nello spazio.
	- Complesso lineare di rette.
313. Coordinate di retta nello spazio.
314. Condizione di incidenza di due rette.
	Applicazioni.
315. Complesso lineare di rette.
316. Alcune proprietà metriche del complesso lineare.
317. Cenno sui fasci e sulle reti di complessi lineari.
318. Complessi lineari involutori.
319. La dinamo.
	Composizione di un sistema di cursori.
320. Sistemi equivalenti.
321. Applicazione della teoria del complesso lineare ai diagrammi reciproci della statica grafica.

Appendice.
322. Cenni comparativi fra la geometria proiettiva e la geometria elementare; altri tipi di geometria.

Indice speciale di alcuni termini, osservazioni, e cenni di applicazioni.