INDICE
Volume 1.: Il metodo delle coordinate.
Capitolo I. : Preliminari.
1. Forme geometriche fondamentali.
2. Elementi impropri.
3. Proprietà grafiche e proprietà metriche; legge di dualità.
4. Projezioni e sezioni; proprietà projettive.
5. Coordinate; il metodo analitico.
Capitolo II. : Coordinate nelle forme fondamentali di prima specie.
6. I due versi di una forma di prima specie.
7. Principio dei segni nella punteggiata.
8. Ascisse sulla punteggiata.
9. Distanza di due punti.
10. Trasformazione delle ascisse.
11. Unità di misura degli angoli.
12. Principio dei segni nel fascio di rette.
13. Estensione delle relazioni precedenti; rotazioni in un piano.
14. Coordinate tangenti nel fascio di rette.
15. Principio dei segni e coordinate tangenti nel fascio di piani.
16. Rapporto di tre punti d'una punteggiata.
Capitolo III.: Projezioni ortogonali sopra una retta.
Applicazioni alla Trigonometria piana e sferica.
17. Angolo di due rette sghembe orientate.
18. Projezioni ortogonali sopra una retta.
19. Formole fondamentali di Trigonometria ppiana.
20. Formole fondamentali di trigonometria sferica.
Capitolo IV.: Coordinate nel piano punteggiato.
21. Coordinate cartesiane di un punto.
22. Coseni direttori di una retta orientata.
23. Angolo di due rette orientate, di cui siano dati i coseni direttori.
24. Distanza di due punti.
25. Segno di un&area piana.
26. Espressione dell&area d&un triangolo per mezzo delle coordinate dei vertici.
27. Area d'un poligono piano qualunque.
28. Trasformazione delle coordinate cartesiane.
29. Coordinate polari.
30. Trasformazione delle coordinate cartesiane in polari, e di queste inq uelle.
Capitolo V.: Equazione di una retta.
31. Punto che divide un dato segmento in un rapporto dato.
32. Condizione perchè tre punti siano in linea retta.
33. Equazione di una retta.
34. Posizioni particolari d'una retta rispetto agli assi.
35. Retta generica per un punto dato.
36. Intersezione di due rette; rette parallele.
37. Le due regioni in cui un piano è diviso da una retta propria.
38. Coefficiente angolare di una retta.
39. Altre dimostrazione della formola che esprime l'area di un triangolo per mezzo delle coordinate dei vertici.
40. Equazione normale d'una rettaa.
41. Distanza di un punto da una retta.
42. Angolo di due rette.
43. Fascio di rette.
44. Piano rigato.
Capitolo VI.: Equazioni di curve piane.
45. Equazione di una curva piana.
46. Alcune osservazioni sull'equazione d'una curva.
47. alcuni esempi di luoghi geometrici: circonferenza, ellisse, iperbole, parabola, sinusoide, spirale d'Archimede, spirale iperbolica.
48. Immagine geometrica delle funzioni continue di una variabile reale; diagrammi.
49. Curve piane algebriche e trascendenti.
50. Ordine di una curva piana algebrica.
51. Sistemi di curve.
52. Luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti di due dati sistemi.
53. Esempio: cissoide.
54. Equazioni parametriche di una curva.
55. Esempi: retta, circonferenza, cissoide, cicloide.
Capitolo VII. Coordinate nel piano rigato.
56. Coordinate plückeriane di una retta.
57. Equazione di un punto.
58. Inviluppi di rete.
Capitolo VIII.: Coordinate nello spazio punteggiato.
59. Coordinate cartesiane di un punto.
60. Orientazione di un triedro, in particolare del triedro coordinato.
61. Coseni direttori di una retta orientata.
62. Angolo di due semirette, delle quali sono dati i coseni direttori.
63. Coseni direttori di una retta normale a due date.
64. Determinante formato coi coseni direttori di tre semirette.
Seno d'un triedro.
65. Applicazioni alla Trigonometria sferica.
66. Relazioni angolari nel caso di assi obliqui.
67. Distanza di due punti.
68. Projezioni ortogonali sopra un piano.
69. Area d':un triangolo espressa con le coordinate dei vertici.
70. Espressione del volume d'un tetraedro mediante le coordinate dei vertici.
71. Trasformazione delle coordinate cartesiane.
72. Trasformazione di coordinate ortogonali in altre pure ortogonali.
73. Angoli di Euler.
74. Coordinate polari.
Capitolo IX.: Equazione di un piano.
75. Punto che divide un dato segmento di un rapporto dato.
76. Condizioni perchè tre punti siano in linea retta.
77. Condizione perchè quattro punti siano in un pianoo.
78. Equazione di un piano.
79. Posizioni particolari di un piano rispetto agli assi.
80. Piano generico per un puntoo dato.
81. Intersezione di due piani; piani paralleli
82. Le due regioni in cui lo spazio è diviso da un piano proprio.
83. altra dimostrazione della formola che esprime il volume d'un tetraedro per mezzo delle coordinate dei vertici.
84. Equazione normale di un piano.
85. Distanza di un punto da un piano.
86. Angolo di due piani.
87. Fascio di piani.
88. Intersezione di tre piani.
89. Stella di piani.
90. Spazio di piani.
Capitolo X.: Equazioni di una retta.
91. Equazioni generali ed equazioni ridotte di una retta.
92. Rette parallele.
93. Intersezione di una retta con un piano; retta e piano paralleli o appartenentisi.
94. Condizione perchè due rette siano un piano.
95. Equazioni normali di una retta.
96. Coseni direttori di una retta data con le sue equazioni.
97. Angolo di due rette; rette ortogonali.
98. Angolo di una retta con un piano.
99. Piano e retta perpendicolari.
100. Distanza di un punto da una retta.
101. Minima distanza tra due rette sghembe.
Capitolo XI.: Equazioni di superficie e di curve.
102. Equazione di una superficcie.
103. Alcune osservazioni sull'equazione di una superficie.
104. Equazione di una sfera.
105. Equazioni di una curva nello spazio.
106. Equazioni parametriche di una curva.
107. Esempi: retta, parabola gobba cubica, elica circolare.
108. Equazioni parametriche di una superficie.
109. Esempi: piano, sfera, elicoide rigato ad area minima, elicoide obliquo a direttrice rettilinea.
110. Superficie cilindriche, coniche, di rotazione (quadriche rotonde, cono di rotazione, toro).
111. Superficie algebriche e trascendenti; ordine di una superficie algebrica.
Capitolo XII.: Coordinate nello spazio di piani.
112. Coordinate plückeriane di un piano.
113. Equazione di un piano.
114. Inviluppi di piani.
Capitolo XIII.: Birapporto di quattro elementi di una forma di prima specie.
Gruppi armonici.
115. Birapporto di quattro elementi di una forma di prima specie.
116. Carattere projettivo del birapporto.
117. Birapporto di quattro elementi, di cui qualcuno sia improprio.
118. Relazioni tra i diversi birapporti che si possono formare con quattro elementi.
119. Elemento che con tre dati forma, in un dato ordine, un dato birapporto.
120. Gruppi armonici.
Capitolo XIV.: Coordinate projettive e projettività nelle forme di prima specie.
121. Coordinate projettive nelle forme di prime specie.
122. Espressione del birapporto di quattro numeri per effetto di una sostituzione lineare.
123. Invariabilità del birapporto di quattro numeri per effetto di una sotituzione lineare.
124. Trasformazione delle ccoordinate projettive.
125. Projettività tra due forme di prima specie.
126. Equazione di una projettività.
127. Equazione della projettività individuata da tre coppie di elementi corrispondenti.
128. Elementi uniti di una projettività tra due forme sovrapposte.
129. Forme di prima specie prospettive.
130. Elementi imaginari nelle forme di prima specie.
131. Gruppo di elementi di una forma di prima specie rappresentato da un'equazione con un'incognita.
132. Proprietà metriche d'una projettività tra due rette proprie.
133. Involuzione in una forma di prima specie.
134. Equazione dell'involuzione individuata da due coppie.
135. Elementi doppi di un'involuzione.
136. Proprietà metriche di un'involuzione sopra una retta propria.
137. Involuzione circolare in un fascio; forma projettiva della nozione di angolo.
138. Coordinate projettive omogenee in una forma di prima specie.
Capitolo XV.: Coordinate projettive omogenee nelle forme di seconda specie.
139. Coordinate projettive omogenee nel piano punteggiato.
140. Casi particolari.
141. Punteggiate nel piano.
142. Equazione di una retta.
143. Trasformazione delle coordinate.
144. Coordinate projettive omogenee nel piano rigato; equazione di un punto.
145. iano punteggiato e rigato.
146. Punti e rette imaginarie d'un piano.
147. Equazioni di curve e d&inviluppi.
148. Punti ciclici d'un piano.
149. Legge di dualità nel piano.
150. Notazione abbreviata; esempi di applicazioni della legge di dualità.
Capitolo XVI.: Projettiva tra forme di seconda specie.
151. Collineazione tra due piani.
152. Piani collineari sovrapposti.
153. Correlazione tra due piani.
154. Piani correlativi sovrapposti; polarità.
Capitolo XVII.: Coordinate projettive omogenee nelle forme di terza specie.
155. Coordinate projettive omogenee nello spazio punteggiato.
156. Casi particolari.
157. Punteggiate nello spazio.
158. Piani punteggiati nello spazio.
159. Equazione di un piano.
160. Trasformazione delle coordinate.
161. Coordinate projettive omogenee nello spazio.
162. Spazio di punti e di piani.
163. Polarità ortogonale nella stella; estensione della legge di dualità nella stella.
164. Circolo assoluto dello spazio.
Capitolo XVIII.: Projettività tra due spazi.
165. Collineazione tra due spazi.
166. Collineazione tra due spazi.
167. Correlazioni involutorie.
Volume 2.: Curve e superficie del secondo ordine.
Parte Prima: Le curve del secondo ordine
Capitolo I.: Determinazione di una conica per punti.
1. Linee di secondo ordine (o coniche).
2. Determinazione di una conica per punti.
3. Condizione perchè sei punti appartengono ad una conica; teorema di Pascal.
Capitolo II.: Polarità determinata da una conica.
4. Punti d'incontro di una conica con una retta.
5. Coniche degeneri.
6. Tangente ad una conica in un punto.
7. Coppia di tangenti condotte ad una conica per un punto.
8. Punti coniugati rispetto ad una conica.
9. Retta polare di un punto rispetto ad una conica.
10. Polarità individuata da una conica non degenere.
Equazione tangenziale della conica.
11. Inviluppi di seconda classe.
12. Coniche come luoghi e come inviluppi.
13. Metodo delle polari reciproche.
14. Rette coniugate rispetto ad una conica.
15. Polarità rispetto ad una conica degenere.
16. Forme particolari dell'equazione di una conica.
17. Triangoli mutuamente coniugati rispetto ad una conica.
18. Triangoli iscritti, circoscritti, autoconiugati rispetto a coniche.
19. Criteri algebrici per la posizione di un punto reale o di una retta reale rispetto ad una conica.
20. Le due regioni in cui un piano è diviso da una sua conica reale.
Capitolo III.: Generazione proiettiva delle coniche.
Le coniche come curve razionali.
21. Generazione di una conica mediante forme di prima specie proiettive.
22. Le conichhe come curve razionali.
23. Proiettività tra coniche.
24. Proiettività sopra una conica.
25. Involuzioni soprauna conica.
26. Collineazioni piane che trasformano due date coniche l'una nell'altra (in particolare, una data conica in sè stessa).
Capitolo IV.: Fasci e schiere di coniche.
27. Punti e tangenti comuni a due coniche.
28. Fasci di coniche.
29. Schiere di coniche.
30. Equazioni di coniche soggette a date condizioni lineari.
31. Altra dimostraione del teorema di Pascal.
32. teorema di Hesse.
33. Coniche per due punti fissi.
Capitolo V.: Proprietà diametrali delle coniche.
34. Le tre specie di coniche secondo la loro sezione con la retta all'infinito: ellisse, iperbole, parabola.
35. Diametri.
36. Centro.
37. Diametri coniugati (nelle coniche a centro); asintoti.
38. Condizione perchè una conica sia un'iperbole equilatera.
39. Assi d'una conica.
Capitolo VI.: Forme ridotte delle equazioni delle coniche.
40. Equazioni di coniche riferite a particolari assi cartesiani.
41. Invarianti di una conica rispetto ad una trasformazione di coordinate cartesiane.
42. Trasformazione delle equazioni delle coniche nelle forme ridotte per mezzo degli invarianti.
43. Classificazione metrica delle coniche.
Capitolo VII.: Proprietà metriche delle coniche studiate sulle loro equazioni normali.
44. Ellisse.
45. Iperbole.
46. Diametri di un'iperbole; iperboli coniugate.
47. Proprietà dell'iperbole relative agli asintoti.
48. Iperbole equilatera.
49. Iperbole riferita agli asintoti.
50. Diametri coniugati nell'ellisse e nell'iperbole; formole di Chasles.
51. Teoremi di Apollonio.
52. Angolo di due diametri coniugati.
53. Distanza del centro d'una conica da una tangente.
54. Parabola; tangente e normale.
Capitolo VIII.: Propriet&agrrave; focali delle coniche.
55. Definizione di fuoco.
56. Determinazione dei fuochi.
57. Proprietà angolari relative ai fuochi.
58. Proprietà relative ai raggi focali; direttrici.
59. Altre proprietà focali.
60. Parabola come limite di un'ellisse o di una iperbole.
61. Equazione polare di una conica riferita ad un fuoco come polo.
62. Coniche a centro confocali.
63. Coordinate ellittiche.
64. Parabole confocali; coordinate paraboliche.
65. Coniche simili e similmente disposte.
PARTE SECONDA: La superficie del secondo ordine.
Capitolo IX.: Polarit6agrave; determinata da una quadrica.
66. Superficie di secondo oordine (o quadriche).
67. Determinazione di una quadrica per punti.
68. Intersezioni d'una quadrica con una retta e con un piano.
69. Quadriche degeneri.
70. Piano tangente ad una quadrica in un punto.
71. Punti ellittici, parabolici, iperbolici.
72. Forma di una quadrica reale in prossimità di un suo punto proprio tale.
73. Punti coniugati rispetto ad una quadrica.
74. Piano polare di uun punto rispetto ad una quadrica.
75. Polarità individduata da una quadrica non degenere; equazione tangenziale della quadrica.
76. Rette coniugate rispetto ad una quadrica; involuzione delle tangenti coniugate ad una quadrica in un punto.
77. Piani tangenti condotti ad una quadrica per una retta.
78. Rette secanti e rette esterne.
79. Cono circoscritto da un punto ad una quadrica.
80. Inviluppi (doppiamente infiniti) di seconda classe.
81. Quadriche come luoghi e come inviluppi.
82. Metodo delle polari reciproche.
83. Piani coniugati rispetto ad una quadrica.
84. Equazione di una quadrica riferita ad un tetraedro autoconiugato.
85. Polarità rispetto ad una quadrica degenere.
Capitolo X. Quadriche rigate.
86. I due sistemi di generatrici reali giacenti sopra una quadrica a punti iperbolici.
87. Quadrica determinata da tre rette sghembe a due a due.
88. Generazionee delle quadriche rigate con forme proiettive di prima specie.
89. Trasversali comuni di quattro rette sghembe a due a due.
Capitolo XI.: fasci e schiere di quadriche.
90. Curva comune a due quadriche.
91. Fasci di quadriche.
92. Schiere di quadriche.
Capitolo XII.: Propriet6agrave; diametrali delle quadriche.
93. Le diverse specie di quadriche secondo la natura della loro sezione col piano all'infinito.
94. Piani diametrali.
95. Centro.
96. Diametri.
97. Sezioni di una quadrica con piani paralleli.
98. Cono asintotico.
99. Piani diametrali coniugati.
100. Piani principali ed assi: equazione cubica da cui dipende la loro ricerca.
101. Realità delle radici dell'equazione D(ρ)=0.
102. Corrispondenza tra i piani principali e le radici dell'equazione D(ρ)=0.
103. Piani principali ed assi.
104. I piani principali di una quadrica in relazione col circolo assoluto.
Capitolo XIII.: Forme ridotte delle equazioni delle quadriche.
105. Equazioni di quadriche riferite a particolari assi cartesiani.
106. Invarianti di una quadrica rispetto ad una trasformazione di coordinate cartesiane ortogonali.
107. Trasformazione delle equazioni delle quadriche nelle forme normali per mezzo degli invarianti.
108. Classificazione metrica delle quadriche.
Capitolo XIV.: Forma e proprietà metriche delle quadriche studiate sulle loro equazioni normali.
109. Ellissoide (reale).
110. Iperboloide ad una falda.
111. Iperboloide a due falde.
112. Paraboloide ellittico.
113. Paraboloide iperbolico.
114. Diametri di massima e minima lunghezza in una quadrica a centro.
115. Terne di diametri coniugati in un quadrica a centro.
116. Quadriche equilatere.
117. Quadriche dualmente equilatere.
118. Triedri trirettangoli circoscritti ad una quadrica.
Capitolo XV.: Sezioni circolari di una quadrica.
119. Dipendenza del problema delle sezioni circlari dall'equazione cubica D(ρ)=0.
120. Sezioni circolari ed ombelichi nelle quadrichea centro.
121. Sezioni ciercolari ed ombelichi nei paraboloidi.
122. Le sezioni circolari di una quadrica in relazione col circolo assoluto.
Capitolo XVI.: Proprietà focali delle quadriche.
123. Definizione di fuoco.
124. Fuochi e coniche focali nelle quadriche a centro.
125. Le coniche focali nelle diverse specie di quadriche a centro.
126. Fuochi e coniche focali nei paraboloidi.
127. Assi focali dei fuochi d'una quadrica.
128. Quadriche confocali.
129. Schiera di quadriche confocali come sistema triplo ortogonale.
130. Coordinate ellittiche.
131. Coniche focali coniugate; coni rotondi passanti per una data conica.
132. Assi focali di una quadrica.