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Newton

È il metodo più veloce dal punto di vista del calcolo ed offre parecchi spunti di lavoro con il computer. Si basa sul calcolo delle differenze divise, che ha parecchie analogie con il calcolo delle derivate successive. Consente tra l'altro di determinare il grado del polinomio interpolante, senza effettivamente costruirlo.

Il metodo può essere presentato in vari modi. Molto semplice ed intuitivo è questo:

	si costruisce il polinomio che passa per il primo punto, che è p₁(x)=y₁
	volendo modificarlo in modo che passi anche per (x₂,y₂), basta aggiungere un termine di primo grado che si annulla quando x=x₁, ottenendo p₂(x)=y₁+a₁(x-x₁) ; il coefficiente a₁ va calcolato im modo che risulti p(x₂)=y₂
	volendo farlo passare anche per il punto (x₃,y₃) si aggiunge un termine quadratico, arrivando a p₃(x)=y₁+a₁(x-x₁)+a₂(x-x₁)(x-x₂) e aggiustando in modo opportuno a₂
	si continua allo stesso modo per ogni nuovo punto. Come si vede, si tratta di un metodo incrementale che conserva il lavoro fatto per i punti precedenti

Da calcolare sono solo i coefficienti a₁, a₂, ... ed è qui che si può utilizzare il meccanismo delle differenze divise per ottenerli.

Lo schema di calcolo può essere così riassunto

	Ordine 0	Ordine 1	Ordine 2	Ordine 3	Ordine 4
					……
				………….
			………….
		……………
.	……………

avendo definito che in letteratura si usa scrivere [x_k,...,x_k+n].

La prima riga di questo schema fornisce i coefficienti cercati.

Di interessante da sperimentare sulle differenze divise c'è questo fatto: se i punti da interpolare vengono generati da un polinomio di grado n [in numero superiore comunque a n], la colonna di ordine n presenta valori tutti uguali. Questo ci consente per esempio di stabilire se una serie di punti è generata da un polinomio e anche di che grado. Invece per le funzioni non polinomiali non si arriva mai alla colonna di numeri uguali.

La formula di interpolazione si può tra l'altro scrivere in una forma che minimizza i calcoli, in questo modo

P(x)=y₁+(x-x₁)(d_1,1+(x-x₂)(d_2,1+(x-x₃)(d_3,1+......)))

Lo schema delle differenze divise si presta ad interessanti considerazioni quando i numeri x_n sono in progressione aritmetica