Le geometrie in Cinderella
Questo software usa un trattamento unitario per le 3 geometrie: euclidea,
iperbolica, ellittica. Tra l'una e l'altra non si nota alcuna differenza nei
menu e nella barra dei comandi: ovviamente i risultati dei comandi dipendono
dalla geometria scelta.
Per giungere a tale generalità gli Autori si sono rifatti alla teoria delle geometrie
di Cayley-Klein, che prende origine da uno scritto di Klein (1871)
intitolato "Sulla cosiddetta geometria non-euclidea", in cui l'autore,
rifacendosi ad alcune idee precedenti dell'algebrista Cayley sulla metrizzazione
degli spazi proiettivi, fa derivare varie geometrie (tra cui quelle che ci
interessano) dalla geometria proiettiva dotata di opportune metriche.
Passando da una geometria all'altra Cinderella
cambia il modo di calcolare le distanze e di misurare gli angoli. Questo
influenza la costruzione delle perpendicolari, delle parallele, del punto medio,
e modifica la forma dei cerchi.
Per le geometrie non euclidee esiste anche la possibilità di vedere le cose
secondo i classici modelli di Poincaré e della sfera di Riemann, utilizzando le Viste,
che sono una delle caratteristiche più interessanti di Cinderella.
Per comprendere meglio ciò che succede in questo programma è utile tenere
presenti queste indicazioni:
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in geometria iperbolica:
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tutto il piano è racchiuso dentro un cerchio (detto orizzonte o assoluto)
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l'unità di misura si accorcia rapidamente partendo dal centro, fino ad
annullarsi sull'orizzonte: questo fa in modo che i segmenti vicini
all'orizzonte, anche se nel disegno appaiono piccolissimi, in realtà hanno una
lunghezza molto grande
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di due angoli retti adiacenti, quello che contiene il centro del cerchio
assoluto sembra più grande dell'altro
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i cerchi sono disegnati come ellissi; il centro risulta spostato verso
l'orizzonte rispetto al centro dell'ellisse
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in geometria ellittica
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l'unità di misura si allunga a partire dall'origine delle
coordinate; mentre si allontanano due punti, la distanza prima aumenta
fino a Pigreco/2 e poi diminuisce fino a zero
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di due angoli retti adiacenti, quello che contiene l'origine delle
coordinate sembra più piccolo dell'altro
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i cerchi sono disegnati come ellissi o come iperboli
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