MODELLI di geometria non euclidea
Geometria Iperbolica
 | Modello di Klein-Beltrami
Il piano iperbolico è costituito dai punti interni di un cerchio [orizzonte]
Le rette sono le corde del cerchio.
La metrica prevede formule (basate sul logaritmo di birapporti) sia per la misura delle
distanze che degli angoli.
Non essendo il modello conforme , non si possono valutare ad occhio le relazioni metriche
tra i segmenti o gli angoli.
In questa immagine ci sono due rette di colore blu e un cerchio di colore verde. Si
noti come il cerchio sia in realtà rappresentato da un'ellisse.
È più lungo il segmento AB o CD ?
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| Disco di Poincaré
Il piano iperbolico è costituito dai punti interni di un cerchio [orizzonte]
Le rette sono archi di cerchio ortogonali all'orizzonte
I segmenti sono misurati come nel modello precedente, mentre gli angoli sono misurati
secondo la normale metrica euclidea [si tratta di angoli tra archi di cerchio]. Data
questa caratteristica, il modello si presta facilmente ad illustrare le relazioni angolari
in geometria iperbolica, e per questo è molto usato.
In questa immagine ci sono due rette di colore blu e un cerchio
di colore verde. Si nota che il centro E del cerchio non si trova dove ci si aspetterebbe.
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| Semipiano di Poincaré
Il piano iperbolico è costituito da un semipiano.
Le rette sono semicerchi centrati sulla retta sostegno del semipiano o semirette ad essa
perpendicolari.
Anche questo modello conserva la misura euclidea degli angoli.
 In questa immagine ci sono gli stessi elementi della figura precedente,
rappresentati in questo diverso modello |
Geometria Ellittica
| Disco di Klein
Il piano ellittico è rappresentato dall'interno di un cerchio e dalle coppie di punti
antipodali sulla circonferenza.
Le rette sono i diametri o gli archi di cerchio che incrociano l'orizzonte agli estremi di
un diametro.
Il modello è conforme, cioè conserva la misura euclidea degli angoli.
L'immagine mostra un triangolo azzurro con le tre altezze rosse. Le altezze come si
vede si incontrano in un punto.
Misurando gli angoli del triangolo si trova che la loro somma supera 180° .
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| Sfera di Riemann
Il piano ellittico è rappresentato dalle coppie di punti antipodali su una superficie
sferica [due punti antipodali sono lo stesso punto ellittico].
Le rette sono i circoli massimi della sfera.
Così appare la figura precedente in questo modello. |
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