| 13 marzo |
Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrale di una funzione esteso a un intervallo. Criterio di integrabilità. |
| 14 marzo |
Integrabilità delle funzioni monotone. Linearità dell'integrale. |
| 15 marzo |
Integrabilità delle funzioni composte. Integrabilità delle funzioni continue. Restrizioni di una funzione integrabile. Proprietà segmentaria dell'integrale. |
| 20 marzo |
Esempio di funzione non integrabile. Monotonia dell'integrale. Teorema della media. Integrale definito. Funzione integrale. Monotonia e continuità della funzione integrale. |
| 21 marzo |
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione. Calcolo dell'integrale definito. Confronto tra infinitesimi. Notazione “o piccolo” e “o grande”. Funzioni differenziabili. |
| 22 marzo |
Il differenziale e le sue proprietà formali. L'integrale indefinito. Integrali immediati. Integrazione per sostituzione. |
| 27 marzo |
Integrazione per parti. Integrali definiti e indefiniti: esempi. Integrale di una funzione non negativa. Integrabilità del prodotto di due funzioni integrabili. Teorema della media generalizzato. |
| 28 marzo | Sviluppi di Maclaurin e di Taylor. |
| 29 marzo |
Esercizi: Integrazione quasi immediata. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per sostituzione. |
| 3 aprile |
Resto dello sviluppo di Taylor: forma integrale
e
forma di Lagrange. Irrazionalità del numero e. Integrale in senso generalizzato: definizione ed esempi. |
| 4 aprile |
Funzioni integrabili in senso generalizzato e funzioni sommabili. Criterio del confronto per la sommabilità. Criteri di sommabilità. |
| 11 aprile | Esercizi: integrazione per sostituzione e per parti. |
| 12 aprile | Esercizi: integrazione delle funzioni razionali. |
| 17 aprile |
Criteri di sommabilità: riepilogo. Introduzione alle serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. |
| 18 aprile |
Collegamento tra serie e integrali generalizzati. Criterio “integrale”. Divergenza della serie armonica. Serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Criterio di convergenza di Cauchy. |
| 19 aprile | Esercizi: integrazione per razionalizzazione. |
| 24 aprile |
La serie geometrica. Criterio del confronto. Confronto asintotico. Criterio della radice e criterio del rapporto. |
| 26 aprile |
Criterio di condensazione. Serie armonica generalizzata. Criterio dell'ordine di infinitesimo. Criterio di Leibniz. Esempio di funzione integrabile in senso generalizzato ma non sommabile. |
| 3 maggio |
Esercizi: integrale definito. Esercizi: integrali generalizzati. |
| 8 maggio | Esercizi: infinitesimi ed infiniti. |
| 9 maggio |
Criterio di Abel. Riordinamenti e convergenza incondizionata. |
| 10 maggio | Esercizi: criterio di sommabilità. |
| 16 maggio |
Cenno al teorema di Riemann-Dini. Norma euclidea. Disuguaglianze di Schwartz e di Minkowski. Definizione di spazio metrico. Metriche equivalenti e uniformemente equivalenti. |
| 22 maggio |
Sottospazi di uno spazio metrico. Diametro. Inisiemi limitati e illimitati. Esempi di spazi metrici. Funzioni continue e uniformemente continue in spazi metrici. Omeorfismi, isomorfismi uniformi e isometrie. |
| 23 maggio |
Proprietà degli insiemi limitati negli spazi metrici. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Caratterizzazione della continuità mediante aperti e chiusi. Successioni convergenti in spazi metrici. Caratterizzazione degli insiemi chiusi e delle funzioni continue mediante le successioni. |
| 24 maggio |
Sottosuccessioni. Spazi metrici compatti. Caratterizzazione dei sottoinisiemi compatti di numeri reali. Proprietà dei sottoinsiemi compatti. |
| 29 maggio |
Definizione di contrazione e di punto fisso. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. Teorema di Banach-Caccioppoli. |