INDIPENDENZA DEI MOTI
QUESITO: sparando un proiettile da un cannone sopra una
torre alta 100 ml ed allo stesso tempo lasciando cadere un altro proiettile,
uguale al primo, dalla stessa torre, quale dei due toccherà prima terra?
Di seguito dimostreremo che, considerando trascurabile l’attrito dell’aria, arriveranno a terra ambedue allo stesso tempo.
Trascurando l’attrito
dell’aria, lungo l’asse
orizzontale x, il proiettile si muove per inerzia a velocità costante,
eguale a quella di uscita Vx.
Lungo l’asse verticale y si muove invece con moto uniformemente accelerato per effetto della gravità, a partire dall’altezza h.
Sia g il valore dell’accelerazione di gravità.
Presa l’origine degli assi al suolo sulla verticale del cannone, le coordinate del proiettile, in funzione del tempo, sono:
(2)
Dalla (1) avremo che:
(3)
e quindi sostituendo la (3) alla (2) avremo l’equazione parabolica della traiettoria:
(4)
La
gittata Gx, che si trova
dal valore di x allorché y=0
, risulta proporzionale alla velocità iniziale Vx :
(5) [vedi nota (1) fine pagina]
il tempo ty per toccare terra si ricava dal valore di tx allorché x=a . dall’equazione (1) si ottiene:
se
e
sia
allora
avremo quindi
cioè tx = ty
che risulta appunto indipendente dalla velocità iniziale Vx e quindi lo stesso di un proiettile che fosse lasciato cadere a perpendicolo.
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NOTA (1): La formula deriva dalla legge del moto naturalmente accelerato (legge della caduta dei gravi) che si riporta per completezza:
1)
2)
3)
4)
5)
6) Considerata V0 nulla, in quanto velocità iniziale avremo che
7) Poniamo “S = h” e “a=g”
8) sostituiamo nella 6) ed avremo:
9) quindi: e in seguito