INDIPENDENZA DEI MOTI

QUESITO: sparando un proiettile da un cannone sopra una torre alta 100 ml ed allo stesso tempo lasciando cadere un altro proiettile, uguale al primo, dalla stessa torre, quale dei due toccherà prima terra?

Di seguito dimostreremo che, considerando trascurabile l’attrito dell’aria, arriveranno a terra ambedue allo stesso tempo.

    Trascurando l’attrito dell’aria, lungo l’asse orizzontale x, il proiettile si muove per inerzia a velocità costante, eguale a quella di uscita V_x.

Lungo l’asse verticale y si muove invece con moto uniformemente accelerato per effetto della gravità, a partire dall’altezza h.

Sia g il valore dell’accelerazione di gravità.

Presa l’origine degli assi al suolo sulla verticale del cannone, le coordinate del proiettile, in funzione del tempo, sono:

    (1)

  (2)

 Dalla (1) avremo che:

    (3)

e quindi sostituendo la (3) alla (2) avremo l’equazione parabolica della traiettoria:

  (4)

La gittata G_x, che si trova dal valore di x allorché y=0 , risulta proporzionale alla velocità iniziale V_{x :}

  (5) _{[vedi nota (1) fine pagina]}

il tempo t_y per toccare terra si ricava dal valore di t_x allorché x=a . dall’equazione (1) si ottiene:

se

e

sia

allora 

avremo quindi

cioè t_x = t_y

che risulta appunto indipendente dalla velocità iniziale V_x e quindi lo stesso di un proiettile che fosse lasciato cadere a perpendicolo.

_________________

NOTA (1): La formula  deriva dalla legge del moto naturalmente accelerato (legge della caduta dei gravi) che si riporta per completezza:

1)

2)

3)

4)

5)

6) Considerata V₀ nulla, in quanto velocità iniziale avremo che

7) Poniamo “S = h” e  “a=g”

8) sostituiamo nella 6) ed avremo:

9) quindi:  e in seguito