I SEGRETI DEL CENTRO AERODINAMICO

Disquisizioni attorno a questo magico punto

 

Come noto dalla teoria, il Centro Aerodinamico, o Fuoco, è un punto fisso, caratteristico di ogni profilo, rispetto al quale il coefficiente di momento è costante al variare dell'incidenza.
O anche:
Ma come si è scoperto che esiste un punto dotato di tale proprietà? Lo si può vedere in due modi. Esaminiamo il primo.

Occorre ricordare che un profilo alare è caratterizzato da alcune curve che hanno un andamento tipico e ben conosciuto: la curva CP-α, la curva CR-α, e la curva CP-CR (detta "polare"); ma, a ben ricordare, c'è anche una quarta curva, che dà l'andamento del coefficiente di momento al variare dell'incidenza: la curva CM-α. Nella determinazione del coefficiente di momento, in genere il momento è calcolato rispetto ad un punto qualunque fisso rispetto al profilo (di solito, comunque, situato sulla corda). Orbene, si ricorderà che quando il momento è calcolato rispetto ad un punto generico χ, la curva CM-α assume un andamento siffatto: è una retta inclinata di un certo angolo δ rispetto all'asse delle α e che interseca l'asse dei CM nel punto A.
Proprio il fatto che la curva CM-α (almeno nella sua parte centrale, lontano dallo stallo) è una retta consente di dimostrare l'esistenza del Centro Aerodinamico. Già gli aerodinamici sperimentatori si erano accorti di una particolarità: rifacendo le prove, e cambiando soltanto il punto di calcolo del momento, veniva fuori un'altra retta che passava sempre per il punto A, ed era soltanto diversamente inclinata, cioè cambiava il valore dell'angolo δ. Addirittura, per alcuni punti di calcolo dei momenti, la retta dei CM invertiva l'inclinazione, cioè anziché discendere verso destra, cresceva verso destra, o viceversa, passando però sempre per il punto A. Ciò induceva a sospettare che esistesse da qualche parte un punto, calcolando il momento rispetto al quale, il grafico del CM venisse una retta con inclinazione zero, cioè orizzontale, sempre passante per il punto A. Si sarebbe con ciò trovato un punto per cui CM rimane costante al variare dell'incidenza α (fatto tradotto sul grafico proprio dall'orizzontalità della retta), e di valore pari alla lunghezza del segmento orientato OA.

Quindi una qualunque curva CM-α riferita ad un punto qualunque χ individua un segmento orientato OA e permette pertanto di stabilire il valore di CMCA.

Ma, per trovare dove sta questo Centro Aerodinamico (cioè per trovare xCA), bisogna per forza andare per tentativi finchè la retta del CM non viene orizzontale, o c'è un modo più rapido? La risposta, ovviamente, è che ancora una volta basta disegnare una sola retta dei CM rispetto ad un punto qualunque χ per trovare anche la posizione del Centro Aerodinamico.

Consideriamo la figura sotto, in cui si vede il profilo alare col punto generico χ rispetto al quale è stato ricavato il grafico C-α della figura precedente; supponiamo anche che esista il Centro Aerodinamico, posto ad una coordinata vera x*CA ancora sconosciuta e col relativo momento MCA, ed applichiamo in esso la portanza P.
Si ha, adottando la solita convenzione dei momenti positivi a cabrare e negativi a picchiare:
e, facendo la solita divisione per ½ρv2Sl:
e quindi
Se il Centro Aerodinamico esiste veramente, allora deve soddisfare la proprietà
, per cui:
(si ricordi che ∂CP/∂α=C), e quindi, con semplici passaggi:
Ma la quantità ∂C/∂α non è altro che la pendenza della retta C del grafico iniziale, ovvero la tangente dell'angolo δ mostrato nel grafico stesso. Per cui si può scrivere anche, in maniera più chiara:
Ecco trovata la posizione del Centro Aerodinamico!

Così, in un colpo solo, abbiamo dimostrato che il Centro Aerodinamico esiste, e abbiamo calcolato dove si trova.

Un'ultima interessante verifica consiste nel dimostrare che effettivamente il valore del CMCA è dato dal segmento orientato OA.

Infatti, sostituendo nella (1) l'espressione di xCA testè trovata:
Ma C aveva un andamento rettilineo, e quindi nel grafico CM-α era espresso dall'equazione di una retta:
, ove CM0χ non è altro che l'ordinata all'origine OA.

Si può scrivere quindi:
o anche, per quanto già detto:
Andando a sostituire nella (2) si ottiene:
Ma CP, per definizione, non è altro che C · α:
(si ricordi che nei problemi di stabilità si considera sempre l'incidenza aerodinamica, mai quella geometrica, perciò il termine CP0 scompare dalla formula CP = C · α + CP0).

Si arriva dunque all'equazione:
che è il risultato cercato.

Vediamo ora il secondo modo con cui è stata dedotta l'esistenza del Centro Aerodinamico.

Con l'inizio dello studio scientifico e sistematico dei profili alari, gli aerodinamici sperimentatori provarono a diagrammare il coefficiente di portanza in funzione della posizione del centro di pressione, provarono cioè a tracciare un grafico che avesse sull'asse delle ascisse la posizione (adimensionale) del centro di pressione e sull'asse delle ordinate il coefficiente di portanza generato quando il centro di pressione si trova proprio in quella posizione. Con loro grande sorpresa, si trovarono davanti agli occhi un risultato del genere:
(come al solito, nel punto O c'è il bordo d'attacco del profilo, e nel punto xCP=1 vuol dire che il centro di pressione cade sul bordo d'uscita).

A parte le solite zone corrispondenti allo stallo, il grafico è un'iperbole equilatera avente per asintoto orizzontale l'asse delle xCP, e per asintoto verticale non l'asse dei CP, bensì la retta verticale passante per il punto di ascissa x1. Questo andamento regolare già di per sé lascia intuire l'esistenza di un punto particolarissimo dotato di proprietà altrettanto particolari.

Iniziamo l'indagine osservando che, se spostiamo l'origine dei nostri assi cartesiani dal punto O al punto x1, l'iperbole equilatera assume l'equazione di forma canonica del tipo:

y = A / x

, ove A è una costante che indica quanto l'iperbole è larga o stretta, e con i due rami dell'iperbole giacenti nel 1° e nel 3° quadrante, il che equivale a dire che la costante A è positiva.

Tale traslazione del sistema di riferimento si esprime dicendo che nel sistema d'assi originario l'iperbole ha equazione

y = A / (x - x1)

Nel nostro caso, poiché non abbiamo gli assi x e y, bensì abbiamo gli assi xCP e CP, l'equazione è

CP = A / (xCP - x1)

Vedremo nel seguito che la costante A assume un significato del tutto speciale.

Se ora calcoliamo il coefficiente di momento che la portanza produce rispetto ad un punto generico χ, otteniamo (eseguendo la solita semplificazione per ½ρv2Sl e adottando la solita convenzione per il verso dei momenti):
Se tra tutti i generici punti χ ne esiste uno che è il Centro Aerodinamico, per esso dovrà valere la relazione:
in quanto se il CMCA è indipendente dall'incidenza deve essere indipendente anche dalla posizione del centro di pressione.

Sostituendo l'equazione (3) nella derivata sopra, si ottiene:
e poiché A ≠ 0
Si tratta di eseguire la derivata rispetto alla variabile xCP di un quoziente di due funzioni di xCP: la funzione al numeratore è χ - xCP, quella al denominatore è xCP - x1.

Orbene, date due funzioni f e g di una variabile qualunque, se f' è la derivata di f e g' è la derivata di g, è ben risaputo dalle regole della derivazione che la derivata di (f / g), indicata con (f / g)', vale:
Applicando questa regoletta alla derivata che dobbiamo eseguire, si ha:
e questa per la (4) deve essere uguale a zero:
, cioè: x1 - χ = 0 ⇒ χ = x1

Quindi il Centro Aerodinamico esiste, e cade proprio nel punto x1, in corrispondenza dell'asintoto verticale dell'iperbole equilatera. Meglio di così!

Per finire, la solita verifica: scoperto dove si trova il Centro Aerodinamico, calcoliamo quanto vale rispetto ad esso il coefficiente di momento, così controlliamo al tempo stesso che venga effettivamente costante, indipendente da xCP (e di conseguenza anche da α).

Per far ciò, dobbiamo sfruttare il risultato or ora trovato, e porre χ = x1 nella (3):
Quindi il CMCA del profilo non è altro che la costante A dell'iperbole cambiata di segno!

Allorchè, sperimentando un profilo, si ottiene un'iperbole che sta nel 1° e 3° quadrante (come nel caso mostrato in queste pagine), vuol dire che la costante A è positiva, quindi il profilo è un normale profilo portante, con CMCA negativo.

Se invece nel grafico CP-xCP si fosse ottenuta un'iperbole con rami nel 2° e 4° quadrante, la costante A sarebbe stata negativa e ciò voleva dire che il profilo provato era un autostabile o un profilo portante rovesciato, con CMCA positivo.

 

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