Le funzioni - Funzioni sinusoidali

Raffaele Ilardo: Elementi di matematica e fisica di supporto al corso

Le funzioni

Col termine "Funzione" si indica in matematica la relazione che esiste fra due (o più) grandezze. E' una funzione, per esempio, il perimetro di un quadrato riferito al suo lato.
E' evidente che il perimetro del quadrato dipende dalla misura del lato; si dice allora che il perimetro è "funzione" del lato.

Analogamente, per un'auto che cammina a velocità costante, per esempio di 80 km/h, lo spazio percorso è funzione del tempo; se il tempo raddoppia, anche lo spazio percorso diventa doppio.

In questo esempio e in quello precedente, il tempo ed il lato del quadrato sono dette "variabili indipendenti", perchè libere di assumere qualsiasi valore.
Lo spazio percorso ed il perimetro sono invece dette "variabili dipendenti", perchè il loro valore dipende dalle altre variabili.
Quando le variabili dipendenti assumono valori che seguono di pari passo le variabili indipendenti, si dice che esiste una proporzionalità diretta; si parla allora di "funzione lineare".
Diremo così che il perimetro di un quadrato è funzione lineare della misura del suo lato, e che lo spazio percorso muovendosi a velocità costante è una funzione lineare del tempo trascorso.
Ma esistono altri tipi di relazione fra le grandezze. Torniamo al quadrato e consideriamo questa volta il valore che assume l'area del quadrato, al variare del lato. Osserviamo in questo caso che, mentre il lato è aumentato solo di 1 cm per volta, l'area è passata da 4 a 9 poi a 16 e quindi a 25 cm². L'area del quadrato cambia effettivamente al variare del lato, ma in modo molto più sensibile di come varia il valore del lato stesso.
Questo tipo di relazione viene detta "esponenziale". Si dirà allora che in un quadrato l'area è funzione esponenziale del lato.
Poichè nel quadrato l'area corrisponde al lato elavato alla seconda (ovvero al quadrato), si può precisare che nel caso specifico si tratta di una funzione esponenziale di tipo "quadratico".

Le funzioni possono sempre essere rappresentate in forma grafica, cioè tramite un disegno, come si vede nella figura sotto.
Il grafico di sinistra raffigura la funzione "perimetro del quadrato". Per costruire il grafico si tracciano sull'asse orizzontale tante tacche che corrispondono ai valori del lato (nell'esempio sono stati segnati i valori 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 40 - 45). Sull'asse verticale si tracciano i valori del perimetro; come si vede, nel disegno sono stati indicati i valori 60 - 80 - 100 ecc. fino a 180. Si riportano poi i valori calcolati, indicati dai cerchietti rossi: il primo cerchietto o punto del grafico si troverà in corrispondenza del valore 20 di lato, esattamente all'altezza del valore 80 di perimetro; il secondo punto sarà in corrispondenza del valore 30 di lato, all'altezza 120 di perimetro, ecc.
Tutti i punti tracciati, che in questo caso sono 3, saranno uniti da una linea (in colore blu), che è proprio la rappresentazione grafica della funzione.
Nel caso del perimetro, questa linea è una retta, ad indicare che si tratta di una funzione "lineare"

Procedendo analogamente possiamo tracciare il grafico dell'area del quadrato, che si vede nella parte destra della figura precedente; disponiamo sul grafico i 4 punti, il primo in corrispondenza del valore 2 del lato e del valore 4 dell'area, il secondo in corrispondenza del valore 3 del lato e del valore 9 dell'area, ecc. Tracciati i quattro punti, notiamo però che, questa volta, non possiamo unirli con una retta: la linea che passa per i vari punti è una linea curva che, all'aumentare dei valori, sale sempre più rapidamente.
Tale linea curva è la rappresentazione grafica della funzione area, ed indica che si tratta di una funzione con andamento esponenziale.

Funzioni sinusoidali

Alcune grandezze fisiche variano nel tempo con un andamento caratteristico, assumono cioè una serie di valori che corrispondono esattamente alla funzione trigonometrica chiamata "seno" (purtroppo questo bel nome non ha niente a che fare con gli amabili attributi femminili che evoca!).
Le grandezze il cui andamento è simile a quello della funzione seno, vengono dette "sinusoidali".
Una grandezza con andamento sinusoidale che ci interessa più da vicino è per esempio la tensione alternata, come quella che troviamo nelle prese di corrente delle nostre case. Nella figura che segue possiamo vedere la rappresentazione grafica di tale tensione.


Come si costruisce questo grafico? Su una linea orizzontale (asse dei tempi) tracciamo delle tacche che rappresentano i millisecondi, per esempio da zero fino a 48. Su un'altra linea, ma verticale, tracceremo le tacche che corrispondono alle tensioni in volt.
Se a partire da un istante iniziale (zero millisecondi) ci divertiamo a riportare sul grafico tutti i valori che assume la nostra tensione, millisecondo dopo millisecondo, otteniamo la curva di colore viola. Essa rappresenta esattamente la tensione di rete a 220 V; osserviamo che ha un valore massimo (superiore a 300 V) in corrispondenza di 5 ms, poi torna a zero a 10 ms, quindi scende ad un valore minimo (negativo) di -300 V. A 20 ms il valore della tensione torna a zero. Negli istanti successivi, da 20 a 40 ms, tutti i valori si ripetono esattamente uguali, come per i primi 20 ms, e poi ancora e ancora.
Si dice che queste grandezze hanno un andamento "periodico", ovvero che, ad intervalli costanti, assumono nuovamente tutta la stessa serie di valori assunti nel periodo precedente. L'intervallo di tempo in cui la grandezza assume tutti i suoi valori caratteristici (prima di cominciare a ripetersi), viene detto "periodo". Il periodo è un tempo, che nel nostro caso è di 20 ms.
Poichè per fare un secondo dobbiamo sommare 50 volte i 20 ms del periodo, la nostra grandezza ripeterà tutta la sua serie di valori 50 volte per ogni secondo: diremo allora che tale grandezza ha una frequenza di 50 hertz. Ed infatti la tensione di rete che arriva nelle nostre case ha una frequenza di 50 Hz.
L'altra linea curva in colore azzurro è la rappresentazione grafica di un'altra tensione alternata, di valore più basso (95 V); osserviamo che l'unica differenza è nell'ampiezza delle oscillazioni, naturalmente più ridotta, ma l'andamento è lo stesso così come la durata di ogni periodo.





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