Scopo di
questa lezione è lo studio della continuità delle funzioni e
successivamente dei punti di discontinuità. Accanto alla nozione di “limite
per le funzioni”, viene introdotto il concetto di “continuità delle
funzioni”, che può interpretarsi come completamento di quella.
Sappiamo
che la nozione di limite per x ®
c, riguarda il comportamento della funzione
f(x) negli
intorni H di c, privati del punto c stesso, e
pertanto non dipende dal valore f(c)
assunto dalla f(x)
in c, anzi f(x)
pùo anche non essere definita in c.
Il caso
più frequente sarà quando il limite della
f(x)
per x ® c sarà uguale
ad f(c);
in tal caso diremo che la f(x)
è continua in x=c.
Da un
punto di vista intuitivo possiamo dire che una funzione è continua
quando è possibile tracciarne il grafico “senza staccare la penna dal
foglio”, ma ovviamente in matematica dobbiamo dare una definizione
rigorosa, cui successivamente far seguire degli esempi. Si ha allora la
seguente:
Definizione: Si dice che la funzione
y=f(x),
definita in un intervallo I=]a,b[,
è continua in un punto nel punto cÎI,
se risulta
Quindi,
ricordando anche la definizione di limite, possiamo affermare che una
funzione y=f(x)
è continua in x=c se si
verificano queste tre condizioni:
1.
la funzione è definita in
x=c;
2.
esiste il limite della funzione per x
® c;
3.
il limite coincide con il valore assunto dalla funzione in
x=c.
Definizione: Si dice
che la funzione y=f(x)
continua a destra [oppure a sinistra] nel punto c se vale
solamente la relazione:
[oppure
].
·
In definitiva quindi una funzione
f(x)
è continua in x=c se lo è
tanto a destra quanto a sinistra.
Definizione: Si dice che la funzione
y=f(x)
è continua nell’ intervallo [a,b]
se è continua in tutti i punti di tale intervallo.
Le principali funzioni continue sono:
a)
la funzione costante ("xÎR);
b)
la variabile indipendente ("xÎR);
c)
le funzioni razionali intere ("xÎR);
d)
le funzioni razionali fratte ("xÎR,
eccetto i punti che annullano il denominatore);
e)
le funzioni goniometriche senx e cosx ("xÎR);
f)
la funzioni goniometrica tgx ("x
¹
p/2 + kp);
g)
la funzioni goniometrica cotgx ("x
¹ kp);
h)
la funzione esponenziale y=ax
("xÎR);
i)
la funzione logaritmica y=logax ("x>0);
j)
La funzione irrazionale
("xÎR
se n è dispari, "x³0
se n è pari).
Rimandando ad un qualunque
testo di analisi i teoremi sulle funzioni continue, andiamo a prendere in
considerazione i punti di discontinuità.
Sia
f(x) una
funzione continua in tutti i punti di un intervallo I, privato al più del
punto c.
Se la funzione
f(x)
non è definita in c, oppure, essendovi definita, non è tuttavia in
tale punto continua, si dice che c è un punto singolare (o di
discontinuità) della funzione e questa si dice discontinua in
c.
Si usa, riguardo ai punti
singolari, distinguere i tre casi seguenti:
- Punti di
discontinuità di prima specie
- Punti di
discontinuità di seconda specie
- Punti di
discontinuità di terza specie (o eliminabile).
Ø
Si dice che una funzione
f(x) presenta
nel punto c una
discontinuità di prima specie, se in tale punto esistono finiti i
limiti destro e sinistro, ma sono diversi tra loro.
La differenza l2
– l1 si dice salto della funzione.
Esempio:
La funzione
presenta in x=0 una discontinuità di prima specie con salto uguale a 2.
Ø
Si dice che una funzione
f(x)
presenta nel punto c una
discontinuità di seconda specie, se in tale punto almeno uno
dei due limiti: 
,
o non esiste o è infinito.
Esempio:
La funzione presenta in x=1
una discontinuità di seconda specie in quanto si ha:
e 
Ø
Si dice che una funzione
f(x) presenta
nel punto c una
discontinuità di terza specie (o eliminabile), se in tale punto
esiste finito il 
, ma non esiste f(c)
oppure 
.
Esempio 1:
La funzione
è definita e continua "x¹2
e presenta in x=2 una
discontinuità di terza specie in quanto si ha:
. Tale funzione può allora essere resa continua in tale punto, in questo
caso su tutto l’asse reale, definendola (“completandola”) nel modo che
segue:
.
Esempio 2:
La funzione
è definita su tutto l’asse reale, continua
"x¹1
e presenta in x=1 una
discontinuità di terza specie in quanto si ha:
. Tale funzione Tale funzione può allora essere resa continua in tale punto,
definendola (“modificandola”) nel modo che segue:
.
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