La geometria sferica

Dopo il piano, la sfera è certamente la superficie più familiare: su di essa si può fare geometria più o meno come sul piano, chiamando: punto un punto della superficie sferica.

Si definiscono punti diametralmente opposti i punti P e P' sulla superficie sferica allineati con il centro C della sfera. Sulla superficie terrestre, il polo nord e il polo sud sono un esempio di punti diametralmente opposti.

Considerati due punti A e B sulla superficie sferica e sia s un cerchio massimo passante per essi, osserviamo che essi staccano su s due archi, uno maggiore e uno minore. L'arco minore tra i punti A e B è proprio il "percorso più breve". Definiamo dunque la distanza tra due punti sulla superficie sferica come la lunghezza dell'arco minore che essi individuano su un cerchio massimo passante per essi. La distanza viene, naturalmente, misurata in gradi e corrisponde all'angolo al centro sotteso dal suddetto arco. Ma se consideriamo due punti diametralmente opposti l'arco minore non è più unico. Eliminiamo tale ambiguità considerando solamente punti abbastanza vicini, in altre parole punti che non siano diametralmente opposti.

Utilizziamo queste proprietà delle circonferenze massime e dei punti diametralmente opposti per costruire sul piano euclideo il modello di geometria sferica prendendo in considerazione una generica circonferenza C e una particolare relazione tra i punti del piano rispetto a tale circonferenza chiamata pseudo-inversione.

	Tale relazione rappresenta la traduzione sul piano della relazione tra i punti diametralmente opposti sulla superficie sferica. In questo modello si definisce punto un qualsiasi punto del piano. Si fa presente che tutti i disegni geometrici presenti sono stati realizzati utilizzando il quaderno interattivo di geometria Cabri-Géomètre II.
La pseudo-inversione è' tale che ad un punto P associa il punto P' ottenuto applicando prima l'inversione rispetto a C e poi la simmetria centrale rispetto a O e verificando la relazione OP · OP' = R².

Osservando che una circonferenza massima passa per coppie di punti diametralmente opposti, definiamo retta in questo modello, la circonferenza passante per coppie di punti pseudo-inversi. Dalla geometria euclidea sappiamo che per due punti passano infinite circonferenze, pertanto, le rette passanti per due punti pseudo-inversi sono infinite. Così non è valido, oltre al II, il I postulato di Euclide, mentre il III ed il IV sono ancora validi.

Infatti, si definisce cerchio sferico, fissato un punto P sulla superficie sferica e un numero reale positivo r l'insieme dei punti della superficie sferica la cui distanza da P è minore uguale ad r, e P è detto polo. Osserviamo che un cerchio sferico ha effettivamente due poli, P e P', con P' il punto diametralmente opposto di P. Come si può osservare dalla figura, il cerchio è la circonferenza d di polo il punto P, ottenuta come inversione rispetto alla circonferenza a del cerchio d'. P risulta decentrato dal centro euclideo.

Inoltre il cerchio può essere visto come la porzione di spazio delimitata dalla circonferenza d, oppure come lo spazio esterno a d. In quest'ultimo caso il polo del cerchio è il punto P' pseudo-inverso di P. Si osservi che anche una retta è un particolare cerchio.

Definiamo angolo sferico fra due rette l'angolo diedro formato tra i piani passanti per le due circonferenze massime. Nel modello sul piano l'angolo fra due rette è l'angolo euclideo formato tra le circonferenze rappresentanti le due rette. Possiamo, dunque, affermare che due angoli sono uguali se e solo se lo sono in senso euclideo, poiché, dalla definizione segue che la misura di un angolo è la misura dell'angolo euclideo formato dalle tangenti alle circonferenze nel loro punto d'intersezione. Pertanto due angoli retti sono uguali a conferma del IV postulato.

Osserviamo che dalle proprietà delle rette sferiche discende che in geometria sferica le perpendicolari ad una retta sferica da un punto esterno che non sia il suo polo è unica, mentre sono infinite le perpendicolari passanti per i suoi poli.