Esempio 4

Segue dall’Esempio 1,2 e 3

Analisi della varianza. 1

Analisi della varianza a più vie con GLM.. 1

Confronti Multipli 10

Site. 13

Treatment 38

Site*Treatment 101

Conclusioni 303

Analisi della varianza

Per poter cogliere tutti assieme in un unico modello i diversi fattori che determinano la variabile risposta Weigth è necessario utilizzare il metodo dell’analisi della varianza GLM (General Linear Model). Esso ci consente anche di stabilire se esiste una interazione tra i diversi fattori nella determinazione del peso della pianta Poplar.

Analisi della varianza a più vie con GLM

Nel corso dell’Esempio 2 con un Test t a due campioni abbiamo rilevato come la variabile Site non sia influente nella determinazione di Weigth (l’analisi della varianza ad una via per un fattore a due livelli coincide con un test t a due campioni, non ha senso quindi ripetere l’analisi). Questo risultato non esclude comunque che dall’interazione dei due fattori Site e Treatment possano nascere delle sinergie tali che la variabile Weigth ne risulti influenzata.

Per studiare questo problema, assieme a quello dell’eventuale interazione tra i due fattori Site e Treatment e la variabile di stratificazione Years&Age costruiamo il seguente grafico:

ü      Stat > ANOVA > Interactions Plot

ü      Response=Weight

ü      Factors= Site Treatment 'Year&Age'

ü      selezionare Display full interaction plot matrix

ü      OK

Grafico 1

 
 


Dall’analisi del grafico 1 sembra che Site e Treatment generino una interazione come indica il fatto che le linee delle medie dei livelli si intersecano tra loro alcune (2 per Site vs Treatment e 1 per Treatment vs Site). Per non complicare eccessivamente il modello non consideriamo le altre eventuali interazioni.

A partire dal worlsheet principale Poplar.mtw, seguire la seguente procedura:

ü      Stat > ANOVA > General Linear Model

ü      Response=Weight

ü      Model=’Years&Age’ Site Treatment Site*Treatment

ü      Clic su Comparisons, Terms: Site Treatment Site*Treatment

ü      Clic su Graph, attivare l’opzione Histogram of residuals e Normal plot of residuals; OK

ü      OK

General Linear Model: Weight versus Year&Age; Site; Treatment

 

 

Factor     Type Levels Values

Year&Age  fixed      4 Y1A3 Y1A4 Y2A3 Y2A4

Site      fixed      2 1 2

Treatmen  fixed      4 1 2 3 4

 

Analysis of Variance for Weight, using Adjusted SS for Tests

 

Source          DF     Seq SS     Adj SS     Adj MS       F      P

Year&Age         3    582.080    580.911    193.637  264.81  0.000

Site             1      0.783      0.718      0.718    0.98  0.323

Grafico 2

 
Treatmen         3     68.637     68.361     22.787   31.16  0.000

Site*Treatmen    3      8.204      8.204      2.735    3.74  0.012

Error          284    207.669    207.669      0.731

Total          294    867.372 

 

Unusual Observations for Weight 

 

Obs    Weight       Fit      SE Fit  Residual   St Resid

154   0.25000   2.18797     0.16451  -1.93797     -2.31R

160   4.92000   2.69185     0.16621   2.22815      2.66R

161   4.38000   2.69185     0.16621   1.68815      2.01R

163   4.49000   2.69185     0.16621   1.79815      2.14R

169   0.35000   2.32498     0.16506  -1.97498     -2.35R

174   4.05000   2.32498     0.16506   1.72502      2.06R

178   5.21000   3.13846     0.17154   2.07154      2.47R

180   5.12000   3.13846     0.17154   1.98154      2.37R

181   6.19000   3.13846     0.17154   3.05154      3.64R

189   0.64000   2.44663     0.17102  -1.80663     -2.16R

190   0.16000   2.44663     0.17102  -2.28663     -2.73R

192   5.69000   2.67891     0.16628   3.01109      3.59R

199   0.66000   2.67891     0.16628  -2.01891     -2.41R

219   5.82000   3.89631     0.16521   1.92369      2.29R

Grafico 3

 
258   6.93000   5.11532     0.16388   1.81468      2.16R

 

R denotes an observation with a large standardized residual.

 

Dall’analisi dei valori dei p-value concludiamo che:

·        come dal test a due campioni la variabile Site non determina una differenza per la variabile risposta Weight

·        come dall’analisi della varianza ad una via il fattore Treatment è determinante per la variabile risposta Weight

·        la nuova variabile Site*Treatment, che misura l’interazione tra le due variabili, è anch’essa significativa per la variabile risposta Weight

Dall’analisi dei grafici sui residui concludiamo che:

·        i residui si comportano sostanzialmente secondo la distribuzione normale indicando che il modello è correttamente specificato

Confronti Multipli

Nella specificazione di quali confronti multipli realizzare, all’interno della finestra di dialogo GLM sono stati presi in considerazione anche i confronti marginali (cioè al netto degli altri fattori) tra i livelli delle variabili Site e Treatment. Si potrebbe pensare che tale confronto è già stato studiato nel corso dell’esempio 3 (ANOVA ad una via); in realtà l’analisi ANOVA precedente soffriva di una grave limitazione dal momento che l’esclusione di alcune variabili in gioco (soprattutto Years&Age) non permetteva di cogliere la reale relazione tra fattori di trattamento ed i gruppi di piante che nell’esperimento in questione risultavano contemporaneamente influenzate da tutti i fattori.

Passiamo quindi all’analisi di ciascun gruppo di confronti multipli.

Site

L’output del primo confronto è il seguente:

 

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Site                                 

 

Site = 1 subtracted from:

 

Site     Lower    Center     Upper  -----+---------+---------+---------+-

2      -0.2950  -0.09877   0.09742  (----------------*---------------)

                                    -----+---------+---------+---------+-

                                       -0.24     -0.12      0.00      0.12

 

 

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Site                                  

 

Site = 1 subtracted from:

 

Level    Difference       SE of             Adjusted

Site       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2          -0.09877     0.09967   -0.9909     0.3217

Viene confermato quanto già osservato cioè che Sito 1 e Sito 2 sono equivalenti dal punto di vista della variabile risposta Weight.

Treatment

L’output del secondo confronto è il seguente:

 

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Treatmen                             

 

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Treatmen     Lower    Center     Upper  ---+---------+---------+---------+---

2           0.0080    0.3681    0.7281               (----*----)

3          -0.5426   -0.1812    0.1801       (----*-----)

4           0.7210    1.0848    1.4485                         (----*-----)

                                        ---+---------+---------+---------+---

                                         -0.70      0.00      0.70      1.40

 

 

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Treatmen     Lower    Center     Upper  ---+---------+---------+---------+---

3          -0.9093   -0.5493   -0.1893  (----*----)

4           0.3541    0.7167    1.0792                    (----*----)

                                        ---+---------+---------+---------+---

                                         -0.70      0.00      0.70      1.40

 

 

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Treatmen     Lower    Center     Upper  ---+---------+---------+---------+---

4           0.9025     1.266     1.629                            (----*----)

                                        ---+---------+---------+---------+---

                                         -0.70      0.00      0.70      1.40

 

 

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Treatmen                             

 

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Level        Difference       SE of             Adjusted

Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2                0.3681      0.1403     2.624     0.0432

3               -0.1812      0.1408    -1.287     0.5710

4                1.0848      0.1417     7.654    -0.0000

 

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Level        Difference       SE of             Adjusted

Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

3               -0.5493      0.1402    -3.917     0.0005

4                0.7167      0.1413     5.074     0.0000

 

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Level        Difference       SE of             Adjusted

Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

4                 1.266      0.1416     8.939    -0.000

I risultati di tutti i confronti a coppie sono riassunti nella seguente tabella (riga-colonna):

 

Tratt=1

Tratt=2

Tratt=3

Tratt=2

+

 

 

Tratt=3

=

-

 

Tratt=4

+

+

+

Site*Treatment

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Site*Treatmen                        

 

Site     = 1

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

1    2           -0.384    0.2323    0.8483

1    3           -1.111   -0.4995    0.1123

1    4            0.603    1.2190    1.8348

2    1           -0.863   -0.2587    0.3454

2    2           -0.359    0.2452    0.8494

2    3           -0.734   -0.1216    0.4903

2    4            0.076    0.6918    1.3079

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

1    2                        (----*----)

1    3                  (----*----)

1    4                                (----*----)

2    1                    (----*----)

2    2                        (----*----)

2    3                     (----*----)

2    4                            (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 1

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

1    3           -1.340   -0.7318   -0.1237

1    4            0.375    0.9867    1.5986

2    1           -1.091   -0.4909    0.1090

2    2           -0.587    0.0129    0.6133

2    3           -0.961   -0.3539    0.2536

2    4           -0.153    0.4595    1.0721

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

1    3                (----*----)

1    4                              (----*----)

2    1                  (----*----)

2    2                      (----*----)

2    3                   (----*----)

2    4                          (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 1

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

1    4           1.1112    1.7185    2.3258

2    1          -0.3548    0.2408    0.8364

2    2           0.1492    0.7447    1.3402

2    3          -0.2256    0.3778    0.9813

2    4           0.5840    1.1913    1.7986

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

1    4                                    (----*----)

2    1                        (----*----)

2    2                            (----*----)

2    3                         (----*----)

2    4                                (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 1

Treatmen = 4 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

2    1           -2.077    -1.478   -0.8780

2    2           -1.573    -0.974   -0.3741

2    3           -1.948    -1.341   -0.7331

2    4           -1.139    -0.527    0.0843

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

2    1          (----*----)

2    2              (----*----)

2    3           (----*----)

2    4                  (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 2

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

2    2          -0.0837    0.5039    1.0914

2    3          -0.4588    0.1370    0.7328

2    4           0.3506    0.9505    1.5504

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

2    2                          (----*----)

2    3                       (----*----)

2    4                              (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 2

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

2    3          -0.9629   -0.3669    0.2292

2    4          -0.1531    0.4466    1.0463

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

2    3                   (----*----)

2    4                          (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Site     = 2

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Site*Treatmen     Lower    Center     Upper 

2    4           0.2056    0.8135     1.421

 

Site*Treatmen  --------+---------+---------+--------

2    4                             (----*----)

               --------+---------+---------+--------

                     -1.2       0.0       1.2

 

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable Weight 

All Pairwise Comparisons among Levels of Site*Treatmen                        

 

Site     = 1

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

1    2                0.2323      0.2031     1.144     0.9471

1    3               -0.4995      0.2017    -2.476     0.2055

1    4                1.2190      0.2030     6.005     0.0000

2    1               -0.2587      0.1991    -1.299     0.8996

2    2                0.2452      0.1992     1.231     0.9228

2    3               -0.1216      0.2017    -0.603     0.9989

2    4                0.6918      0.2031     3.407     0.0152

 

Site     = 1

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

1    3               -0.7318      0.2004    -3.651     0.0064

1    4                0.9867      0.2017     4.892     0.0000

2    1               -0.4909      0.1978    -2.482     0.2028

2    2                0.0129      0.1979     0.065     1.0000

2    3               -0.3539      0.2003    -1.767     0.6425

2    4                0.4595      0.2019     2.276     0.3069

 

Site     = 1

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

1    4                1.7185      0.2002     8.584     0.0000

2    1                0.2408      0.1963     1.227     0.9243

2    2                0.7447      0.1963     3.794     0.0037

2    3                0.3778      0.1989     1.899     0.5513

2    4                1.1913      0.2002     5.950     0.0000

 

Site     = 1

Treatmen = 4 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2    1                -1.478      0.1977    -7.475     0.0000

2    2                -0.974      0.1977    -4.926     0.0000

2    3                -1.341      0.2003    -6.694     0.0000

2    4                -0.527      0.2016    -2.615     0.1503

 

Site     = 2

Treatmen = 1 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2    2                0.5039      0.1937    2.6016     0.1552

2    3                0.1370      0.1964    0.6976     0.9971

2    4                0.9505      0.1978    4.8061     0.0000

 

Site     = 2

Treatmen = 2 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2    3               -0.3669      0.1965    -1.867     0.5737

2    4                0.4466      0.1977     2.259     0.3165

 

Site     = 2

Treatmen = 3 subtracted from:

 

Level             Difference       SE of             Adjusted

Site*Treatmen       of Means  Difference   T-Value    P-Value

2    4                0.8135      0.2004     4.059     0.0013

I risultati di tutti i confronti a coppie sono riassunti nella seguente tabella (+ e – si riferiscono a: livello riga – livello colonna):

 

 

Sito=1

Sito=2

 

 

Tratt=1

Tratt=2

Tratt=3

Tratt=4

Tratt=1

Tratt=2

Tratt=3

Sito=1

Tratt=2

=

 

 

 

 

 

 

Tratt=3

=

-

 

 

 

 

 

Tratt=4

+

+

+

 

 

 

 

Sito=2

Tratt=1

=

=

=

-

 

 

 

Tratt=2

=

=

+

-

=

 

 

Tratt=3

=

=

=

-

=

=

 

Tratt=4

+

=

+

=

+

=

+

Conclusioni

In conclusione, focalizzando l’attenzione sul contributo individuale delle variabili Site e Treatment, possiamo affermare che

·        la variabile Site non è determinante per la variabile risposta Weight

·        la variabile Treatment è determinante per la variabile risposta Weight ed in particolare

o       il Trattamento 4 (fertilizzante + irrigazione) è superiore a tutti gli altri trattamenti

o       il Trattamento 2 (fertilizzante) è superiore agli altri 2 trattamenti (1=controllo e 3=irrigazione)

o       il Trattamento 1 (irrigazione) e 3 (controllo) sono equivalenti

Invece, focalizzando l’attenzione sulle interazioni tra Site e Treatment ed evidenziando le differenze rispetto ai confronti marginali sopra esposti, è possibile affermare che

·        nel Sito 2 il Trattamento 4 è indistinguibile del Trattamento 2 (fertilizzante)

·        separando i dati per Sito non risulta che in nessuno dei due il Trattamento 2 sia superiore al Trattamento 1 ed inoltre solo nel Sito 1 esso si dimostra superiore al Trattamento 3

·        il Trattamento 2 è superiore al Trattamento 3 solo dal confronto tra Sito 1 rispetto al Sito 2

·        i medesimi trattamenti confrontati a coppie tra i due Siti sono indistinguibili tra loro (celle in celeste sulla diagonale in basso a sinistra)