LINEE DI TRASMISSIONE |
Le LINEE DI TRASMISSIONE
vengono impiegate per trasferire energia elettrica, o
informazioni, da un generatore a un carico.
Una volta arrivate sul carico, poi, per l'attrazione
reciproca, queste si riuniscono, restituendo, tramite la
lampadina, l'energia che il generatore aveva conferito loro.
Un esempio di linea elettrica in corrente continua è indicato
nell'animazione seguente, dove la forza elettromotrice
E di una pila, separa le cariche elettriche positive
+ da quelle negative - e, per mezzo di un tasto
T, le immette nei conduttori della linea.
Di
solito, le linee elettriche a bassa frequenza, hanno lo scopo
specifico di trasportare energia elettrica e,
in Italia, sono quelle dell’ENEL, che trasferiscono l’energia
elettrica dalle centrali, dove viene prodotta, fino alle utenze,
che sono ad esempio, gli appartamenti di civile abitazione dove
noi viviamo.
La foto a destra mostra linee ad alta tensione
in bassa frequenza (50 Hz)
Le linee elettriche a radiofrequenza, invece, di solito
trasportano piuttosto informazioni, e sono ad esempio,
la linea telefonica, il cavo dell’antenna televisiva, il cavo
dei baracchini, delle radio radioamatoriali e così via.
In una linea, quando le cariche elettriche si mettono in
movimento, costituendo così la corrente elettrica, il
campo elettrico dovuto alla presenza delle cariche e il
campo magnetico dovuto al loro movimento, si
propagano con una velocità prossima a quella della luce.
La tensione e la corrente elettrica
impresse dal generatore ad un estremo della linea non
raggiungono il carico istantaneamente, ma si propagano lungo la
linea arrivando al carico dopo un tempo che, anche se
brevissimo, non è comunque nullo.
La velocità di propagazione del segnale
dipende dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si
propagano il campo elettrico e il campo magnetico.
Per le linee isolate in aria la velocità si può considerare
uguale a quella della luce nel vuoto (3 · 108
m/sec) mentre è un poco più bassa per quelle con dielettrico
diverso dall'aria(circa 2 · 108
m/sec).
Il tempo di propagazione è importante quando la linea è
cosi lunga o la frequenza così alta che il segnale
impiega una parte apprezzabile del ciclo o addirittura più cicli
a percorrerla e quindi si determina una situazione del tutto
sconosciuta nello studio delle linee a bassa frequenza, e cioè
nello stesso istante la tensione e la corrente non sono
le stesse nei vari punti della linea perché man mano
che il segnale sinusoidale si va propagando lungo la linea, la
sua fase va variando istante per istante a causa dell'alta
frequenza, come indicato, in modo schematico, nella seguente
animazione.
Da questa animazione si può vedere schematicamente come a
seguito del continuo invertirsi della polarità del
generatore E vengono inviate in linea, a velocità
prossime a quelle della luce, alternativamente cariche
elettriche positive + e cariche elettriche negative -
che costituiscono un'onda di tensione e di corrente (e) che,
partendo dal generatore, attraversano la linea fino ad essere
totalmente assorbite dal carico Z0
al quale restituiscono l'energia elettrica che il generatore
aveva dato loro.
In queste condizioni pertanto la linea, nella sua interezza,
non può essere considerata come un solo elemento circuitale,
come si fa nello studio delle linee a bassa frequenza ove veniva
sostituita, nel suo modello matematico, da una sola impedenza
concentrata in un solo punto da inserire in serie al circuito
costituito dal generatore e dall'utilizzatore, va invece
studiata con la teoria delle costanti distribuite, studio che si
svolge con le equazioni differenziali dette dei:
TELEGRAFISTI E DEI TELEFONISTI
Quando la linea è molto più corta di un quarto
di lunghezza d'onda, pertanto viene considerata
a bassa frequenza e lo studio viene
effettuato con le costanti concentrate,
mentre se la sua lunghezza è eguale o maggiore di un
quarto di lunghezza d'onda, la linea viene considerata
ad alta frequenza e lo studio si
effettua con la teoria delle costanti
distribuite. |
Nelle linee di trasmissione a radiofrequenza pertanto,
resistenza, induttanza, capacità e conduttanzasono
da considerare distribuite uniformemente lungo le linee stesse
e sono dette costanti primarie delle linee.
La resistenza è quella presentata dai
conduttori metallici al passaggio della corrente e si misura in
/m.
L'induttanza è dovuta al campo magnetico che
circonda i conduttori percorsi dalla corrente e si misura in
H/m.
La capacità è dovuta alle superfici
metalliche dei due conduttori e al dielettrico interposto e si
misura in F/m.
La conduttanza tiene conto delle correnti di
dispersione dovute all'imperfezione dell'isolante presente fra i
conduttori e si misura in S/m.
Nell’analisi che segue per determinare le equazioni
differenziali che legano tensione e corrente in ogni punto della
linea supponiamo di esaminare inizialmente una porzione di linea
dx molto più piccola di un
quarto di lunghezza d’onda e tale quindi da potersi
studiare con la teoria delle costanti concentrate.
Si supponga per semplicità, che il generatore di segnale sia
di tipo sinusoidale e sia x la distanza della
sezione generica della linea dal generatore.
Dall’esame del circuito, applicando i due principi di
Kirchhoff, si ha:
Dividendo membro a membro per dx :
Queste equazioni, dette dei
Telegrafisti e dei Telefonisti, esprimono il legame
esistente fra la tensione, la corrente,e le loro variazioni,
lungo la linea in funzione delle costanti primarie R,
L, G, C, della linea.
Le soluzioni delle equazioni dei telefonisti e dei
telegrafisti sono:
In cui:
assume il nome di costante di propagazione, e:
assume il nome di impedenza caratteristica.
Ambedue, poi, prendono il nome di costanti secondarie
delle linee e sono, come si può osservare, dei numeri complessi
Inoltre essendo g
un numero complesso, deve avere una parte reale
e una immaginaria
:
è la parte
reale, indica di quanto si attenua il segnale ogni metro che
avanza e si misura in Neper /metro, anche se la sua unità di
misura più diffusa è il decibel/metro.
invece è la parte immaginaria ed indica di quanto ruota la fase
del segnale ogni metro che avanza e si misura quindi in
radianti/metro, anche se è pure misurata in gradi/metro.
Poiché la fase avanza di 2
per ogni lunghezza d’onda
che avanza, essa
risulta:
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VELOCITA' DI PROPAGAZIONE |
La velocità con cui si propagano queste onde è
data per definizione dallo spazio percorso s diviso il tempo t
impiegato a percorrerlo, e cioè:
ma, essendo l lo
spazio percorso dall’onda nel tempo T in cui avviene
un’oscillazione completa del segnale prodotto dal generatore, si
ottiene, sostituendo:
ma poiché è:
risulta:
Moltiplicando numeratore e denominatore per
2 e
ricordando che:
e:
si ha:
La velocità così definita è chiamata velocità di
propagazione dell’onda di tensione e di corrente lungo
la linea, e anche velocità di fase poiché
rappresenta la velocità con cui un osservatore deve spostarsi
lungo la linea per vedere sempre la stessa fase dell’onda. |
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SIGNIFICATO DELLE COSTANTI A , B |
Per comprendere meglio il significato fisico
delle soluzioni delle equazioni dei Telefonisti,
è opportuno esaminare separatamente i termini a secondo membro
delle due espressioni.
I primi termini:
e:
rappresentano un’onda di tensione e di corrente incidente che
partendo dal generatore attraversa la linea fino a giungere sul
carico.
I secondi termini:
e:
rappresentano un’onda di tensione e di corrente riflessa, che
partendo dal carico attraversa la linea fino a giungere sul
generatore.
Esaminiamo adesso attentamente la formula matematica che
rappresenta l’onda incidente di tensione:
Essendo x la distanza generica dall’inizio della linea,
ponendo in questa formula x = 0, si ottiene la tensione dovuta
all’onda incidente all’inizio della linea:
Analogamente si può dire che la corrente all’inizio della
linea dovuta all’onda incidente è:
Il termine B invece rappresenta la tensione all’inizio della
linea dovuta all’onda riflessa ed il termine B/Z0
la corrente all’inizio della linea dovuta all’onda riflessa.
La tensione dovuta all’onda incidente in un punto qualsiasi
della linea è:
Da questa formula in modo più evidente si capisce che l’onda
incidente, sia essa di tensione che di corrente, mentre si
propaga, si va attenuando secondo la funzione esponenziale
negativa reale:
mentre contemporaneamente la sua fase va ruotando secondo la
funzione complessa:
infatti, che si chiama costante di attenuazione, indica di
quanto l’onda si va attenuando ogni metro che avanza, mentre
,
che si chiama costante di fase, indica di quanto va
ruotando la sua fase ogni metro che avanza. |
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DETERMINAZIONE DI A |
Per determinare il valore di A,
si consideri che, nel caso di linea infinita, il
generatore trasmette le due sole onde incidenti di tensione e di
corrente che stanno tra loro nel rapporto Z0.
Il generatore quindi vede come suo carico immediato,
nell’attesa di un’eventuale onda riflessa, un’impedenza uguale a
Z0 per cui lo
schema equivalente cui fare riferimento nel caso del transitorio
iniziale, per determinare A è il seguente:
Da questo risulta:
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LINEE SENZA PERDITE |
è molto interessante studiare il caso,
teoricamente impossibile, ma praticamente spesso
approssimabile, delle linee senza perdite, in quanto in questo
caso, alcune delle formule fin qui studiate, assumono una forma
molto più semplice:
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FATTORE DI VELOCITA’ |
Dalle equazioni di Maxwell risulta per la
velocità:
essendo:
si ha:
ma essendo praticamente sempre:
in quanto i cavi per alta frequenza non sono quasi mai
costituiti da materiali ferromagnetici, si ha:
Essendo la costante dielettrica relativa
r
sempre maggiore di uno, risulta, come era d’altronde logico
prevedere, che la velocità v dell’onda nel dielettrico è
inferiore a quelle della luce nel vuoto.
L’espressione:
assume il nome di fattore di velocità ed un suo valore
tipico, relativo ai cavi di uso comune nelle linee a
radiofrequenza è di 0,66.
In caso di linee aeree, cioè con dielettrico aria, essendo
r
= 1, risulta: v = c.
Quindi in una linea aerea la velocità di propagazione del
segnale elettromagnetico, coincide con la velocità di
propagazione della luce nel vuoto.
Se la linea non è infinita, ma è chiusa su di un carico
qualunque, il segnale, giungendo al termine della linea, subisce
una riflessione in corrispondenza del carico. |
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ONDE STAZIONARIE |
Lungo
la linea si stabilisce allora un regime di onde stazionarie
dovuto al sovrapporsi di due onde, quella incidente, e quella
riflessa che si propagano in versi opposti.
Si vengono a determinare quindi, dei punti, detti ventri,
nei quali le onde incidenti e le onde riflesse si vengono a
incontrare restando sempre in fase ed ivi la tensione totale
è massima, e degli altri punti, detti nodi, dove le due onde
si vengono a incontrare sempre in opposizione di fase
determinando dei minimi di tensione totale, come si vede,
schematicamente, dall'animazione seguente.
Se però la linea è adattata, cioè se l’impedenza del carico
coincide con l’impedenza caratteristica della linea, allora la
riflessione non si verifica e la linea funziona a regime
progressivo e non più stazionario.
In tal caso le onde emesse dal generatore non tornano più
verso di esso perché vengono assorbite dal carico ove si
trasformano in energia di altra forma, ovvero vengono irradiate
nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche se il carico
è un’antenna.
In questo caso il termine B è uguale a
zero mancando così l’onda riflessa di tensione e di corrente.
Si osservi che il rapporto fra l’onda incidente di tensione
(Volt) e l’onda incidente di corrente (Ampere)
è sempre uguale a Z0 (Ohm).
Analogamente avviene per l’onda riflessa di tensione e di
corrente che hanno come rapporto Z0.
Per quanto riguarda il segno - degli esponenziali della
tensione e della corrente incidente, si osservi che esso è
conseguenza del sistema di riferimento usato.
Usando invece il carico come origine del sistema di
riferimento, il segno - si cambia in + e quella che era prima
onda riflessa, viene vista ora dal carico come onda incidente
dal carico verso il generatore, sua nuova destinazione.
Per una linea chiusa su un carico ZL
diverso da Z0 la
costante B dell’equazione dei Telefonisti è
diversa da zero.
In pratica spesso è molto più utile misurare le distanze
lungo la linea a partire dal carico anziché a partire dal
generatore perché spesso si deve adattare il carico con uno
STUB da inserire a breve distanza dal carico
stesso.
La tensione V(x) e la corrente I(x)
lungo la linea, allora, misurate a partire dal carico,
risultano:
Qui VL+
rappresenta la tensione incidente misurata sul carico e
VL- rappresenta la tensione riflessa
misurata sul carico.
Queste due grandezze risultano correlate dal coefficiente di
riflessione
:
che è in generale un numero complesso il cui modulo può
variare tra zero ed uno ed indica il rapporto tra la tensione
riflessa e quella incidente.
Il coefficiente di riflessione
è
funzione dell’impedenza di carico ZL
e dell’impedenza caratteristica della linea Z0
secondo l’espressione:
Dalla precedente formula risulta che in caso di linea
adattata cioè con ZL = Z0 ,
il coefficiente di riflessione
è nullo e non si hanno onde riflesse.
Come si è visto, in caso di linea adattata, quando, cioè non
vi è riflessione sul carico, le ampiezze della tensione e della
corrente diminuiscono esponenzialmente lungo la linea dal
generatore verso il carico.
Invece, quando vi è onda riflessa, le ampiezze della tensione
e della corrente, oltre a diminuire esponenzialmente, variano
periodicamente lungo la linea a causa dell’interferenza fra onda
incidente ed onda riflessa determinando così l’onda stazionaria.
L’onda progressiva, nelle linee senza perdite è una
sinusoide, mentre nelle linee con perdite è una sinusoide
smorzata che si propaga a velocità prossima a quella della luce
dal generatore verso il carico.
L’onda stazionaria invece non si propaga, ma
è una curva che fornisce i valori massimi della tensione nei
vari punti della linea, e quindi è fissa come posizione, ma
pulsa in ampiezza nel tempo fra un massimo positivo e un minimo
negativo.
C'è un'onda stazionaria di tensione, e anche di corrente.
Ambedue hanno esattamente la stessa forma, solo che sono
sfasate fra loro di
/4,
cioè ad un ventre di tensione dell’una corrisponde un nodo di
corrente dell’altra e viceversa.
Nel caso di linea senza perdite adattata, il diagramma d’onda
stazionaria è costituito da un segmento rettilineo, in quanto,
mancando la riflessione, si ha solo l’onda incidente, che in
ogni punto della linea ha lo stesso valore massimo.
Nel caso di linea con terminazione aperta o in corto
circuito, il coefficiente di riflessione assume il valore di 1
in quanto l’onda riflessa coincide con tutta l’onda incidente e,
se la linea è senza perdite, i ventri di tensione hanno valore
doppio della tensione massima incidente, mentre i nodi di
tensione sono uguali a 0.
La distanza fra due nodi o fra due ventri in ogni onda
stazionaria è sempre uguale a
/2,
mentre la distanza fra un ventre ed un nodo è sempre
/4
ROS ovvero VSWR
Il rapporto fra il valore massimo ed il valore minimo della
tensione di un’onda stazionaria si chiama ROS (Rapporto d’Onda
Stazionaria) ovvero SWR
(in inglese: Standing Wave Ratio):
Il ROS ed il coefficiente di riflessione
sono legati dalla relazione:
La relazione inversa è:
Il valore del ROS può variare fra 1 e ∞ al
variare di
tra 0 e 1.
Per una linea adattata, il ROS è uguale a 1,
mentre nel caso di una linea chiusa in corto circuito od aperta
o con carico puramente reattivo, è ∞. |
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IMPEDENZA DI INGRESSO DI UNA LINEA |
L’impedenza in un punto qualsiasi della linea
è definita come il rapporto fra la tensione e la corrente in
quel punto della linea, intendendo naturalmente come tensione,
la tensione totale, cioè la somma della tensione incidente più
quella riflessa e come corrente, la corrente totale.
Infatti uno strumento di misura come il voltmetro, non è in
grado di distinguere se le cariche elettriche che determinano
quella tensione in quel punto siano venute da destra o da
sinistra.
L’impedenza allora, per quanto detto si ricava dalla formula:
Per una linea senza perdite, essendo in questo caso:
= 0,
e quindi: = j,
e ricordando che:
risulta, dopo molti passaggi che per semplicità non si
riportano:
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LINEA SENZA PERDITE IN CORTO CIRCUITO |
In questo caso, essendo ZL
= 0, l’espressione scritta sopra diventa:
L’impedenza in ogni punto della linea è una reattanza pura
che varia secondo
Se la linea ha lunghezza compresa tra zero ed
un quarto di lunghezza d’onda, la sua impedenza di ingresso è
una reattanza positiva, cioè induttiva, mentre se la lunghezza è
compresa fra un quarto di lunghezza d’onda e mezza lunghezza
d’onda, l’impedenza di ingresso è una reattanza negativa, cioè
capacitiva. |
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LINEA SENZA PERDITE APERTA |
In presenza di linea aperta, essendo
l’impedenza di ingresso diventa:
In questo caso l’impedenza è una reattanza pura e il
comportamento della linea rispetto al caso precedente è duale in
quanto varia come:
Se la linea ha lunghezza minore di un quarto di lunghezza
d’onda, la sua impedenza di ingresso è una reattanza capacitiva,
mentre se la sua lunghezza è compresa fra un quarto di lunghezza
d’onda e mezza lunghezza d’onda la linea ha comportamento
induttivo. |
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ADATTAMENTO DELLE LINEE |
Il disadattamento di una linea a
radiofrequenza può comportare parecchi inconvenienti.
Se il segnale prodotto dal generatore, viene in parte
riflesso dal carico, una parte della potenza sviluppata gli
ritorna indietro sovraccaricandolo, ed eventualmente
distruggendolo, se non è stato dimensionato per sopportare
questa nuova potenza che si trasforma in calore.
Il caso peggiore si ha ovviamente nel caso del massimo
disadattamento che si manifesta con il carico in corto circuito
o a circuito aperto.
Un trasmettitore, pertanto, non deve mai essere
cortocircuitato ai piedi dell’antenna, ma neanche deve essere
staccata l’antenna mentre sta trasmettendo.
Lo stesso pericolo corre, a bassa frequenza, un amplificatore
stereo se si staccano le casse mentre sta suonando.
Inoltre un disadattamento d’antenna comporta, in ogni caso,
una minore potenza trasmessa, e quindi una minore portata del
trasmettitore.
Quindi, ferma restando la potenza sviluppata dal generatore a
radio frequenza, la portata del trasmettitore viene
drasticamente ridotta da un ROS troppo alto.
Si tollera un ROS di 1,2 – 1,5 ma mai
valori superiori.
Visti gli inconvenienti presentati dal disadattamento, si
cercano delle tecniche per ridurre, correggere o eliminare il
disadattamento tra linea e carico.
Si può adattare un carico di tipo resistivo ad una linea
inserendo un breve tratto di linea a
/4
secondo lo schema di figura con:
Si può realizzare l’adattamento nel caso di carico costituito
da resistenza e reattanza con uno STUB, cioè un tratto di linea,
dello stesso tipo di quella principale, ma collocata in
parallelo al carico in modo da eliminare la parte reattiva
dell’impedenza e riducendola al valore resistivo della
resistenza caratteristica R0 della
linea principale con l’aggiunta della linea a
/4.
I relativi calcoli si effettuano con la carta di SMITH oppure
secondo quanto indicato nell'esercizio n.8 della pagina
esercizi.
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