TRANSITORIO DI CARICA DI UN CONDENSATORE

 

 

 

 

 

Dato il circuito con

 

C = 5 m F  inizialmente scarico

                  1 - Gradino

i(t)  =         2 - Rampa

                  3 - Sinusoide

Determinare l’andamento della tensione v(t),

nell’intervallo 0 – 0,1 s

 

 

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1 – ANALISI FISICA DEL SISTEMA

 

Fisicamente:    Il generatore di corrente porta cariche elettriche sulle armature del condensatore (carica del condensatore), le quali cariche elettriche determinano un d.d.p. v(t) tra le armature del condensatore. L’incremento di carica determina un incremento di tensione sulle armature secondo la legge fisica:

 

DQ = C * DV                         dividendo entrambi i membri per Dt        = C *        e quindi

 

DI = C *              che in termini infinitesimali diventa:     i(t) = C *

 

 i(t) = C *    è la legge fisica (modello matematico) che descrive il circuito (sistema) in esame

 

Il fenomeno è descritto da un’equazione differenziale che non siamo in grado di risolvere, pertanto utilizziamo la trasformata di Lapalce per trasformarla in un una equazione algebrica.

2 – APPLICAZIONE TRASFORMATA LAPLACE – FUNZIONE DI TRASFERIMWENTO

 

 

 

L{ i(t) } = I(s)            L {  } = S * V(s)        (vedi tabella trasf. Pag. 209, rigo 4.)         

 

e quindi           I(s) = s * C * V(s)                  da cui             V(s) =  * I(s)

 

Conclusioni

 

Abbiamo “trasformato” sistema in esame descritto nel domino del tempo dallo schema e dalla equazione differenziale

 

 

 

 

 

i(t) = C *

 

(modello matematico)

 

 

Al sistema descritto nella variabile complessa s e rappresentato dallo schema e dalla equazione algebrica

 

 

 

 

V(s) =  * I(s)

 

 

G(s) =  funzione di trasferimento

 

3 – RISPOSTA DEL SISTEMA ALL’INGRESSO A GRADINO

 

 

L’ingresso (la corrente) è un segnale a gradino, di altezza pari a 5  mA,        cioè:

 

 i(t) = 0 per t <0          i(t) =  5 mA   per t > 0                     nel dominio del tempo,

 

che trasformato in s diventa:      I(s) =  5/S             (vedi tabella £trasf. pag. 237., rigo 3)

 

e quindi:         

 

V(s) = (1/CS)*I(s)    = (1/5* 10-6* s)*[(5* 10-3)/s]=  1* 103 * 1/s2

 

 

Antitrasformando la funzione V(s) dal domino s al dominio del tempo

 

vedi tabella £-1 pag. 210, rigo 4, dove    £-1{ 1/s2 }   = t    e quindi

 

V(s) = 1* 103 * 1/s2                è                   v(t) = 1* 103 *t

 

 

Questa è l’equazione finale nel dominio del tempo che mi consente di determinare l’uscita V nel tempo

 

 

3.1 – Simulazione teorica con EXCEL nell’intervallo t = 0 ÷ 0,1 sec.

 

 


  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 – Simulazione sperimentale con MULTISIM

 


  

 


 

 

 

 

 

3.3 – Osservazioni/Conclusioni

 

La la curva ricavata con MULTISIM, è identica (essendo per il ch.A: 3 divisioni =100v;
per i tempi:3 divisioni =1mSec.; significa che in multisim la retta arriva ad un valore di 100v in un tempo di 1mS proprio come si è visto nel grafico di Excel) a quella ricavata con EXCEL analisi teorica e osservazioni sperimentali coincidono, pertanto il ragionamento fatto (formula finale di v(t) = 1* 103 *t è corretto.

4 – RISPOSTA DEL SISTEMA ALL’INGRESSO A RAMPA

 

 

L’ingresso (la corrente) è un segnale a rampa,     i(t)  =5*10-3t  A,

 

che trasformato in s diventa:      I(s) = 5*10-3  / s2           (vedi tabella £trasf. pag.237, rigo.5) 

 

e quindi:       

 

V(s) =   * I(s)    =  1/(5*10-6s)*5*10-3  / s2  =  5*10-3/C *

 

 

Antitrasformando la funzione V(s) dal domino s al dominio del tempo

 

vedi tabella £-1 (pag 210,  tab. 2.2,  rigo 8) dove    £-1[]  =    e quindi

 

V(t) = 5*10-3/C *              è                   v(t) = 250* t2

 

 

v(t) = 250 * t2

 

 


4.1 – Simulazione teorica con EXCEL nell’intervallo t = 0 ÷ 0,1 sec.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2 – Simulazione sperimentale con MULTISIM


  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3 – Osservazioni/Conclusioni

 

 La curva ricavata con MULTISIM, è identica (cresce in maniera esponenziale dal valore o fino al valore v=2,5v) a quella ricavata con EXCEL analisi teorica e osservazioni sperimentali coincidono, pertanto il ragionamento fatto (formula finale di v(t) = 250t2 è corretto.

 

5 – RISPOSTA DEL SISTEMA ALL’INGRESSO SINUSOIDALE

 

 

L’ingresso (la corrente) è un segnale a sinusoidale, i(t)  = 2*cos(wt)  mA, con w = 314  rad/sec

 

che trasformato in s diventa:      I(s) = 2s/(s2+w2 )           (vedi tabella £trasf. pag.237, rigo21 ) 

 

e quindi:       

 

V(s) = *2s/(s2+w2 ) =  1/(5*10-6s)*2s/(s2+3142 )  =  “F(s) finale”                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

 

 

Antitrasformando la funzione V(s) dal domino s al dominio del tempo

 

vedi tabella £-1 pag. ……., rigo ……., dove    £-1{ “funz. in s” }   = “funz. in t”    e quindi

 

V(s) = “F(s) finale”                è                   v(t) = “f(t)”

 

 

Questa è l’equazione finale nel dominio del tempo che mi consente di determinare l’uscita V nel tempo

 

 

5.1 – Simulazione teorica con EXCEL nell’intervallo t = 0 ÷ 0,1 sec.

 

 

“ Inserire in questo spazio la tabella in EXCEL  con almeno 10 righe di calcolo

ed il grafico”

 

 

5.2 – Simulazione sperimentale con MULTISIM

 

 

“ Inserire in questo spazio lo schema in MULTISIM e l’indicazione dell’oscilloscopio

 

 

 

5.3 – Osservazioni/Conclusioni

 

Se la curva ricavata con MULTISIM, è identica (indicare come) a quella