Consideriamo la seguente
equazione:
Il valore della x che
soddisfa l’equazione è quel numero che elevato al quadrato dà 2.
Utilizzando la definizione
di radicale aritmetico possiamo dire che:
è proprio uno dei numeri che
cerchiamo (1).
Infatti è quel numero che
elevato al quadrato dà 2.
osserviamo che non esiste
alcun numero reale il cui quadrato sia negativo (2);
pertanto tale equazione non può avere soluzione all’interno dell’insieme dei
numeri reali.
Tale fatto trova un suo riscontro
anche se utilizziamo la definizione di radicale aritmetico;
infatti: non può essere un
numero reale poiché non esiste un radicale aritmetico con radicando negativo.
ci troviamo di fronte ad un problema:
tale equazione ammette come
soluzione x = -2; infatti in tal caso si ha che (-2)3 = -8
Non possiamo, però esprimere
tale risultato con un radicale aritmetico; infatti non può essere
considerata un’espressione corretta perché utilizza un radicale aritmetico con
radicando negativo (3).
Risolviamo il problema
introducendo il concetto di radicale algebrico (4)
Definizione di radicale algebrico:
Pertanto, un radicale algebrico
se ha l’indice dispari può avere il radicando negativo.
Per i radicali algebrici
non vale la proprietà invariantiva (5) e tutte
le proprietà dei radicali aritmetici derivanti da essa.
(1)
: essendo un’equazione
di II grado, può avere due soluzioni fra i numeri reali. Nel caso specifico l’altra
soluzione è data da ; infatti elevando al quadrato un valore negativo, si ha come
risultato un valore positivo. Non possiamo ritenere come soluzione dell’equazione
il valore , non solo perché è un radicale inesistente, ma anche (e soprattutto)
perché non corrisponde alla equazione imposta. Infatti tale equazione è risolta
da quel valore di x che elevato al quadrato dia 2 e non -2 (come farebbe
intendere il radicale indicato in quest’ultima espressione.
(2) Qualsiasi numero elevato ad un esponente pari dà come
risultato un numero positivo; infatti, ricordando che meno per meno dà più e
più per meno dà meno, si vede che moltiplicando per se stesso il segno - un
numero di volte pari, il segno risultante sarà sempre +
(3) Non possiamo indicare la soluzione dell’equazione
nella forma: perché il radicale
utilizzato in questo caso non corrisponderebbe all’equazione da risolvere ( non rappresenta il numero che elevato alla terza dà -8, ma
il valore negativo del numero che elevato alla terza dà 8). Se ammettessimo
tale possibilità, dovremmo arrivare alla conclusione che: e, generalizzando: . Tale uguaglianza è, però, palesamente falsa nel caso l’indice
sia pari; pertanto non può essere considerata come una proprietà di tutti i
radicali aritmetici. Allora, se non vale per tutti i radicali, non può essere
considerata valida per nessuno di essi.
(4) I radicali aritmetici derivano da un’esigenza
numerica: esprimere il numero che elevato ad una certa potenza dia un
determinato valore; i radicali algebrici, invece, derivano dall’esigenza di
poter esprimere il risultato di un’equazione. I nomi di questi due tipi di
radicali sono perciò legati all’ambito matematico da cui hanno origine.
(5) Infatti
potremmo avere il caso (evidentemente contraddittorio) : . In definitiva, i radicali algebrici risolvono il problema
della rappresentazione del risultato di un’equazione (vedi nota 4), ma devono
fare a meno della proprietà invariantiva che ci permette, invece, di poter
eseguire operazioni importanti con i radicali aritmetici (semplificazione,
prodotto fra radicali con indice diverso, ecc.)