Proprietà dei radicali aritmetici.

Proprietà invariantiva ⁽¹⁾: moltiplicando o dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale, diverso da 0, il valore del radicale non varia:

nota: t deve essere divisore sia dell’indice, sia dell’esponente del radicando.

Esempi:

Prodotto ( e divisione) fra radicali ⁽²⁾ : il prodotto (la divisione) fra due radicali con lo stesso indice è uguale al radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto (la divisione) dei radicandi.

Esempi:

Potenza di un radicale ⁽³⁾ : la potenza di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice per radicando la potenza del radicando.

Esempio:

Caso particolare: esponente della potenza uguale all’indice del radicale. In tal caso il risultato, per definizione stessa di radicale, è uguale al radicando:

Radice di radice ⁽⁴⁾ : la radice di una radice è il radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando.

Esempio:

Dimostrazioni

Proprietà invariantiva: Considerando la definizione di radicale aritmetico possiamo scrivere:

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Prodotto ( e divisione) fra radicali: Considerando la definizione di radicale aritmetico e le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Dimostrazione analoga per la proprietà della divisione

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Potenza di un radicale : Considerando la definizione di potenza ad esponente intero abbiamo:

in tali casi, applicando le proprietà del prodotto e della divisione di radicali e ricordando che , si ottiene:

Nel caso di esponente nullo si ha:

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Radice di radice: applicando la definizione di radicale si ha:

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