Rappresentazioni di un insieme

 

Il metodo più semplice per rappresentare un insieme è quello di elencarne gli elementi (rappresentazione per elencazione):

Esempi:

A={Lunedì, Martedì, Giovedì, Venerdì, Sabato, Domenica}

B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

C={ a, e, i, o, u }

Ecc,

Nota: l’insieme vuoto si rappresenta nel modo seguente: Æ = {}

 

Questo metodo è molto efficace per insiemi con pochi elementi.

 

Se gli insiemi hanno molti elementi, può essere difficile rappresentarli per elencazione; se, poi, ne hanno infiniti (elenco senza fine) diventa impossibile rappresentarli per elencazione.

In questi casi gli insiemi possono essere rappresentati esplicitando il criterio di appartenenza degli elementi all’insieme.

Considerando gli esempi precedenti:

A è formato da tutte le parole che indicano i giorni della settimana in lingua italiana.

B è formato da tutti i numeri naturali minori di 10 (oppure dalle cifre del sistema di numerazione posizionale in base 10).

C è formato dalle vocali dell’alfabeto italiano (scritte in minuscolo).

Consideriamo i seguenti insiemi:

D={ (1,a) (2,e) (3,i) (4,o) (5,u) }

F={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Possiamo dire che:

D è formato dalle coppie formate da un numero naturale maggiore di 0 e minore di 6 e dalla corrispondente vocale (considerata nell’ordine in cui si trova nell’alfabeto italiano).

F è formato da tutti i numeri multipli di due minori di 20.

 

La conformazione degli elementi dell’insieme e la loro caratteristica (che li fa appartenere all’insieme considerato) sono rappresentate formalmente nel seguente modo:

Rappresentazione per caratteristica

A = { x | caratteristica di ogni elemento dell’insieme }

ove:

A è il nome dell’insieme

x : rappresenta come è fatto ogni elemento dell’insieme.

 

Ad esempio, considerando gli insiemi precedenti, avremo:

B = {x | x Î N e x < 10 } con N: insieme dei numeri naturali.

D = { (x,y) | x Î N e 0 < x < 6 ; y vocale di ordine x nell’alfabeto italiano }

F = { 2x | x Î N e x <10 }

Nota: nella rappresentazione dell’insieme D la prima parte indica che gli elementi dell’insieme sono formati da coppie: (x,y); nella rappresentazione dell’insieme F, invece, la prima parte indica che l’insieme è formato da numeri multipli di 2: 2x.

 

Casella di testo: Quando si rappresenta per caratteristica un insieme, occorre fare molta attenzione che il modo con cui si rappresenta il criterio di appartenenza all’insieme di ogni elemento dia un risultato chiaro (non ambiguo) ed universale (valido per tutti). Se ciò non avviene, allora non è possibile identificare gli elementi che appartengono all’insieme e, perciò, non si può considerare l’insieme in modo matematico.

 

 

 

 

 

Ad esempio se indichiamo l’insieme:

L = { x | x è un libro bello } non riusciamo ad identificare con precisione gli elemento dell’insieme poiché la bellezza di un libro è una caratteristica che varia da persona a persona.

Stessa cosa se scriviamo: G = { (x,y) | x e y : alunni maschi e femmine alti della classe 6^D } poiché il fatto di essere alto  non è interpretabile da tutte le persone nello stesso modo.

In questi casi si deve rappresentare meglio il criterio di appartenenza.

Ad esempio:

L = { x | x è un libro contraddistinto da almeno tre stelline nel catalogo della scuola }

G = { (x,y) | x è un alunno maschio della 6^B che è alto più di 190 cm; y è un’alunna (femmina) della classe 6^B che è alta più di 180 cm }

 

Un altro metodo per rappresentare gli insiemi è dato dalla rappresentazione grafica mediante diagrammi di Eulero-Venn

Gli insiemi si rappresentano mediante una linea chiusa che indica il confine dell’insieme: gli elementi che si trovano entro tale linea appartengono all’insieme, quelli che non sono entro la linea non appartengono all’insieme.

Ad esempio:

 in questo caso:

 

1, 2, 3, 4, appartengono all’insieme A

 

6,7,8 non appartengono all’insieme A

 

La rappresentazione grafica permette di visualizzare in modo efficace le relazioni che vi sono fra i diversi insiemi.

Ad esempio nel caso seguente è evidente che gli insiemi A e B sono disgiunti fra loro, mentre gli insiemi B e C hanno alcuni elementi in comune.

 

 

 

 

 

                             A                                          B                    C
 
 

 


Nota: quando interessa mettere in evidenza più le relazioni fra i vari insiemi che gli elementi appartenenti ai singoli insiemi, questi possono non essere indicati.