Operazioni particolari: Partizione di un insieme e Prodotto cartesiano fra due insiemi.

Partizione di un insieme

Un insieme di sottoinsiemi di A formano una partizione dell’insieme quando i sottoinsiemi sono disgiunti fra loro e la loro unione dà l’insieme A.

In altre parole: siamo in presenza di una partizione di A quando ogni elemento di A appartiene ad un solo dei diversi sottoinsiemi di A considerati.

Esempi:

• Dato l’insieme A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, i sottoinsiemi B = {0, 1, 2, 3} , C = {4, 5, 6} e D = {7, 8, 9} formano una sua partizione.
• Dato l’insieme A = {x | x alunno della classe IA},

i suoi sottoinsiemi:

B = {x | x alunno maschio della classe IA}

C = {x | alunno femmina della classe IA}

formano una partizione di A.

• Dato l’insieme N (insieme dei numeri naturali),

P = {x | xÎN e x numero pari}

D = {x | xÎN e x numero pari }

formano un partizione di N.

In questi casi, invece, non si è in presenza di una partizione:

• Dato l’insieme A = {a,b,c,d,e,f,g,h,i}

i suoi sottoinsiemi

B ={a,b,c,d}

C ={f, g, h, i}

non formano una sua partizione poiché B È C ¹ A (manca l’elemento ‘e’ )

• Dato l’insieme A = {2,4,6,8,10}
• i suoi sottoinsiemi

B ={2,4,6,8}

C ={6,8,10}

non formano una sua partizione poiché B e C non sono disgiunti fra loro ( B Ç C = {6,8} )

Prodotto cartesiano fra due insiemi ( A x B = C )

Il risultato del prodotto cartesiano fra due insiemi A e B è dato dall’insieme formato da tutte le coppie ordinate che si possono ottenere associando ogni elemento di A con tutti gli elementi di B. Essendo le coppie ordinate, il primo elemento della coppia appartiene all’insieme A ed il secondo elemento appartiene all’insieme B.

Sinteticamente possiamo scrivere: A x B = { (x,y) | x Î A e y Î B }

Il prodotto cartesiano fra due insiemi è facilmente rappresentabile mediante una tabella in cui:

• le colonne corrispondono agli elementi di A;
• e le righe agli elementi di B;
• le singole celle alle possibili coppie (colonna, riga).

Esempio:

Dati gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d} il loro prodotto cartesiano è dato da:

AxB	1	2	3
a	1 ; a	2 ; a	3 ; a
b	1 ; b	2 ; b	3 ; b
c	1 ; c	2 ; c	3 ; c
d	1 ; d	2 ; d	3 ; d

Si nota che il numero delle coppie del prodotto cartesiano equivale al prodotto fra il numero degli elementi A per il numero degli elementi di B

Nell’esempio: A ha 3 elementi, B ha 4 elementi ed il prodotto cartesiano è formato da 12 (3x4) coppie.

È possibile effettuare il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso: A x A = A²

Ad esempio:

dato l’insieme A = { 1, 3, 5 } il prodotto cartesiano AxA è dato da:

AxA	1	3	5
1	1 ; 1	3 ; 1	5 ; 1
3	1 ; 3	3 ; 3	5 ; 3
5	1 ; 5	3 ; 5	5 ; 5

In tal caso è evidente l’importanza nell’ordine degli elementi nelle coppie; infatti le coppie (3 ; 1) e ( 1; 3 ) sono chiaramente diverse fra loro.