Elementi di logica matematica
Consideriamo come proposizione matematica qualsiasi costruzione linguistica che può assumere solo due valori.
Ad esempio possono essere proposizioni matematiche:
Roma è la capitale di Italia: è un’affermazione VERA
Roma è la capitale di Francia: è un’affermazione FALSA
Un circuito elettrico di cui si può rilevare lo stato (ad esempio mediante una lampadina): è ON se è attivo (lampadina accesa), è OFF (lampadina spenta)
3 + 2 = 7 – 2 è un’uguaglianza VERA
10 + 5 = 20 –2 è un’uguaglianza FALSA.
L’attribuzione del valore ad una proposizione deve essere determinato in modo univoco e non ambiguo.
Ad esempio non si può considerare una proposizione matematica l’affermazione : ”oggi è un bel giorno” poiché ognuno di noi può dare una valutazione diversa alla verità o alla falsità di tale affermazione.
Non è una proposizione matematica neppure l’affermazione: “oggi è una giornata di pioggia” perché non è chiaro il criterio per cui possiamo dire se una giornata è di pioggia oppure no (per quanto tempo deve piovere ? Quanta pioggia deve cadere ? ecc.)
I due valori attribuibili ad una proposizione matematica possono essere rappresentati in vario modo: VERO-FALSO, ON-OFF, ACCESO-SPENTO, 1-0
Per quanto ci riguarda utilizzeremo le due lettere V (vero) e F (falso).
I connettivi logici
Le diverse proposizioni possono essere unite fra loro utilizzando opportuni operatori detti connettivi logici
Il NOT (la negazione)
La negazione di una proposizione logica restituisce il valore contrario a quello posseduto dalla proposizione.
Esempio
Consideriamo A : 3 è un numero dispari (affermazione VERA) à A = V
Allora la negazione di A (3 non è un numero dispari) è un’affermazione
FALSA à
Ø
A
= F (oppure 
)
L’AND (la congiunzione “e”)
La congiunzione “e” unisce due proposizioni in un’unica proposizione che è VERA solo se sono VERE tutte e due le proposizioni
Esempio
Consideriamo:
A : “Giorgio è il padre anagrafico di Filippo”
B : “Luisa è sorella di Maria”
A Ù B : “Giorgio è il padre anagrafico di Filippo e Luisa è sorella di Maria”
A Ù B è VERA solo se sono VERE sia A, sia B; altrimenti è FALSA.
L’OR (la disgiunzione inclusiva “o”)
La disgiunzione “e” unisce due proposizioni in un’unica proposizione che è VERA se è VERA almeno una delle due le proposizioni.
Esempio
Consideriamo:
A : “L’asino è un quadrupede”
B : “L’asino è un rettile”
A Ú B : “L’asino è un quadrupede o un rettile”
A Ù B è VERA perché è vero che l’asino è un quadrupede.
Variabili e forme preposizionali
Variabile: lettera (o simbolo) che rappresenta un elemento non precisato che può assumere valori diversi.
Se in una proposizione sono presenti delle variabili si presentano due problemi:
1) non è possibile valutare se la proposizione corrisponde ad una proposizione logica
Ad esempio consideriamo la proposizione A : “6 è un multiplo di x”
Se x : 2 à A : “6 è un multiplo di 2” è una proposizione logica (nel caso specifico è un’affermazione VERA)
Se x : Roma à A : “6 è un multiplo di Roma” non è una proposizione logica poiché è un’affermazione che, senza ulteriori specificazioni, è priva di senso, pertanto non si può dire con certezza se sia un’affermazione VERA o FALSA.
I valori che attribuiti alla variabile rendono una proposizione logica costituiscono l’insieme di variabilità (o insieme universo) della variabile.
2) non è possibile determinare il valore assunto dalla proposizione fino a quando non si conosce il valore attribuito alla variabile.
Logica e teoria degli insiemi
“3 è un numero naturale” ( 3 Î N ) è una proposizione logica (nel caso specifico è un’affermazione VERA)
x appartiene all’insieme A ( x Î A ) è una forma proposizionale logica che può assumere il valore V o il valore F a seconda del valore assegnato alla variabile x e dell’insieme A considerato.
La teoria degli insiemi, considerando l’appartenenza o meno di un elemento ad un insieme, si sviluppa perciò mediante proposizioni logiche e, come tutte le costruzioni matematiche, si basa su affermazioni che devono essere ritenute VERE.
Ma la stessa logica matematica, per quanto riguarda le forma preposizionali, si basa sui concetti introdotti dalla teoria degli insiemi.
I due argomenti sono, quindi, strettamente correlati fra loro ed entrambi sono alla base di tutte le costruzioni teoriche sviluppati dalla matmatica.