Definizioni

Partiamo dai seguenti concetti primitivi: Elemento, Insieme ( o Classe) ⁽¹⁾.

Consideriamo come possibili relazioni fra i due concetti l’appartenenza, o meno, di un elemento ad un insieme ⁽²⁾.

Rappresentazione formale generale:

Un generico insieme: mediante una lettera maiuscola.

Un generico elemento: mediante una lettera minuscola.

L’appartenenza di un elemento ad un insieme: con il simbolo Î ( a Î A : significa che l’elemento a appartiene all’insieme A)

La non appartenenza di un elemento ad un insieme: con il simbolo Ï ( a Ï A : significa che l’elemento a non appartiene all’insieme A)

Nota: l’appartenenza o meno di un elemento ad un insieme corrisponde ad un’affermazione logico-matematica poiché può assumere solo due stati: può essere Vera o Falsa; inoltre se a Î A è VERA, allora a Ï A è FALSA (e viceversa).

Ad esempio, consideriamo il seguente insieme:

I giorni della settimana (espressi in lingua italiana): Lunedì, Martedì, Mercoledì, Giovedì, Venerdì, Sabato. In questo caso, possiamo dire che:

La parola ’Martedì’ è un elemento dell’insieme ‘I giorni della settimana (espressi in lingua italiana)’ è un’affermazione VERA.

La parola ‘Monday’ non è un elemento dell’insieme ‘I giorni della settimana (espressi in lingua italiana)’ è un’affermazione VERA.

La parola ‘Marzo’ è un elemento dell’insieme ‘I giorni della settimana (espressi in lingua italiana)’ è un’affermazione FALSA.

E così via.

Possiamo dare le seguenti definizioni:

Insieme incluso in un altro: A Í B: se ogni elemento che appartiene ad A, appartiene anche a B

Insieme non incluso in un altro: A Ë B: se almeno un elemento appartenente ad A non appartiene a B.

Nota: un insieme può essere o incluso o non incluso in un altro insieme. Non possono esistere altre possibilità.

Insiemi uguali: A = B : se ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e viceversa.

Insiemi diversi: A ≠ B: se almeno un elemento appartenente ad A non appartiene a B o viceversa.

Note:

· un insieme può essere uguale o diverso ad un altro insieme. Non possono esistere altre possibilità.

· per le definizioni date possiamo concludere che: Se A = B allora ( à ) A Í B (cioè un insieme è sempre incluso in se stesso).

Insieme incluso strettamente in un altro: AÌ B: se se ogni elemento che appartiene ad A, appartiene anche a B, ma non viceversa.

Insieme vuoto (Æ) : insieme senza alcun elemento.

Insiemi disgiunti: insiemi che non hanno alcun elemento in comune: A è disgiunto da B se ogni elemento che appartiene ad A non appartiene a B

Sottoinsieme di un insieme: A è un sottoinsieme di B se: A Í B

Sottoinsieme proprio di un insieme : A è un sottoinsieme proprio di B se: A Ì B

Nota: con queste definizioni possiamo arrivare alla seguente affermazione: “l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme” ⁽³⁾.

Sottoinsiemi impropri di un insieme A: l’insieme vuoto e l’insieme A stesso.

Queste nuove definizioni costituiscono delle relazioni fra gli insiemi che corrispondono a delle operazioni di confronto fra di essi.

Tali relazioni possono possedere le seguenti proprietà:

Operazioni Proprietà	Uguaglianza A=B	Inclusione A Í A	Inclusione stretta AÌ B	Disgiunzione A disgiunto da B
Riflessiva	A=A	A Í A
Simmetrica	Se A=B à B=A			Se A è disgiunto da B allora B è disgiunto da A
Transitiva	Se A=B e B=C àA=C	Se A Í B e B Í C àA Í C	Se AÌ B e B Ì C à A Ì C
Antisimmetrica		Se A Í B e B Í A àA = B

Insieme delle parti: insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme.

Nota: se l’insieme contiene un numero finito di elementi (n) l’insieme delle parti contiene 2ⁿ elementi.

Esempio: considerando l’insieme A = { 1, 2, 3 } : insieme con 3 elementi ( n = 3)

I suoi possibili sottoinsiemi sono:

· i due insiemi impropri: {1,2,3} e Æ

· gli insiemi propri formati da:

§ le coppie: {1,2} {1,3} {2,3}

§ i singoli elementi: {1}, {2}, {3}

In totale l’insieme A={1,2,3} può avere 8( 8 = 2³ = 2ⁿ ) sottoinsiemi.

Nota (1) : anche se sono concetti primitivi (che, quindi, non possono essere definiti utilizzando altri concetti), possiamo dare una descrizione di questi concetti:

Per Elemento intendiamo una entità (oggetto, idea, animale, cosa, ecc.) che, essendo caratterizzato da determinate proprietà, è distinguibile dalle altre entità esistenti.

Per Insieme intendiamo un gruppo di elementi che sono caratterizzati dalla (o dalle) stessa proprietà (che può corrispondere all’appartenenza all’insieme).

Ad esempio: A = {a, e, i, o, u } è l’insieme formato dalle vocali dell’alfabeto italiano. In questo caso tutti gli elementi dell’insieme (le lettere) sono caratterizzate dal fatto di essere vocali. B={a,d,i,z} è un insieme formato dalle quattro lettere a, d, i, z; in tal caso la caratteristica che hanno in comune queste lettere è che appartengono tutte all’insieme B.

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Nota (2): Un insieme può essere un elemento di un altro insieme. Ad esempio: l’insieme degli alunni di una classe può essere considerato come un elemento dell’insieme ‘Classi di una scuola’. Una relazione che, invece, è da evitare è quella di usare contemporaneamente il concetto di insieme e quello di elemento. Ad esempio se consideriamo l’insieme formato da tutti gli insiemi possibili, potremmo considerare come elemento di questo insieme l’insieme stesso. Così facendo, però avremmo che la teoria conterrebbe al suo interno un’evidente contraddizione. (vedi Antinomie e Paradossi).

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Nota (3): Dalla definizione di inclusione possiamo dire che: Un insieme A non è incluso in un insieme B se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B. Se considerassimo Æ non incluso in A, allora Æ conterrebbe almeno un elemento che non appartiene ad A, ma se contiene almeno un elemento, allora non sarebbe più l’insieme vuoto. Ciò ci porta ad affermare che l’insieme vuoto non può “non essere incluso nell’insieme A”, pertanto l’insieme vuoto è da considerarsi incluso nell’insieme A e, data la genericità di A, in qualsiasi insieme.

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