Equazioni e
sistemi di II grado * Blocco esercizi n.4 *
Abilità
da acquisire:
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A4: Risolvere semplici
sistemi di II grado (anche simmetrici) |
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A5: Risolvere sistemi di
II grado o di grado superiore (mediante artifici) |
:
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n. |
Testo esercizio |
soluzione |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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Risolvi i seguenti semplici sistemi
simmetrici:
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n. |
Testo esercizio |
soluzione |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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n. |
Testo esercizio |
soluzione |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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9 |
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10 |
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SOLUZIONI
Isoliamo la
y nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima: 
à
Svolgiamo il quadrato e semplifichiamo la seconda equazione:
à 
à 
à 
à
Risolviamo l'equazione di
secondo grado nella sola variabile x:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la x :
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Isoliamo la
x nella prima equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda: 
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à
à 
à
Risolviamo l'equazione di
secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Isoliamo la
x nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima: 
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à 
Risolviamo l'equazione di secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Isoliamo la
y nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima: à
à Svolgiamo il quadrato e semplifichiamo la seconda equazione:
à 
à 
à
Risolviamo l'equazione di
secondo grado nella sola variabile x:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la x :
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Isoliamo la
x nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima: 
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à
à 
Risolviamo l'equazione di secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Riportiamo
i due membri della prima equazione allo stesso denominatore:
à Ponendo la condizione : (2x +1)(y -2) ≠ 0,
possiamo "eliminare!" il denominatore. Svolgendo i prodotti si
ottiene :
à 
Isoliamo la
x nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima: 
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à
à 
Risolviamo l'equazione di secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
Verifichiamo
che le soluzioni trovate rispettino la condizione imposta:
Pertanto, entrambe
le soluzioni sono accettabili.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ponendo
la condizione ( a ≠ 0 ), isoliamo
la x nella seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima:
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à 
à Ponendo l'ulteriore condizione ( b ≠ 0 ),
si ha che (a2+b2) è sicuramente diverso da 0 à
à 
Risolviamo l'equazione di secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
Con la
condizione che sia a, sia b siano diversi da 0
Discussione:
caso
di a = 0 e di b ≠ 0
Il
sistema diventa:
à 
caso
di a ≠ 0 e di b = 0
Il
sistema diventa:
à 
caso
di a = 0 e di b = 0
Il
sistema diventa:
à 
che è verificata solo nel caso siano x=0 e y=0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Riportiamo i due membri della seconda equazione allo stesso
denominatore:
à Ponendo la condizione : ay(x+y) ≠ 0,
possiamo "eliminare!" il denominatore. Svolgendo i prodotti si
ottiene :
à 
Isoliamo la
x nella prima equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda:
à Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo :
à 
à 
Risolviamo l'equazione di secondo grado nella sola variabile y:
Consideriamo,
uno alla volta, i valori trovati per la y :
e 
Verifichiamo
che le soluzioni trovate rispettino la condizione imposta:
Pertanto,
entrambe le soluzioni sono accettabili se a è diverso
da 0 (la condizione corrisponde alla C.E. di una della F.A. del
sistema originario).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soluzioni di
semplici sistemi simmetrici di II grado
Ricordando le proprietà delle radici di un'equazione di
II grado, possiamo ricondurre la
soluzione del sistema proposto a quella dell'equazione: z2 -7z +6=0.
Infatti in tal caso, applicamdo le proprietà delle radici si avrebbe: 
ottenendo un sistema la cui analogia con quello
iniziale è evidente se al posto delle due soluzioni (z1 e z2)
dell'equazione, poniamo le variabili x e y.
Applicando
la formula risolutiva di un'equazione di II grado, possiamo scrivere:
Generalizzando,
possiamo risolvere un sistema nella forma: 
con
la seguente formula risolutiva: 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trasformiano la frazione
a secondo membro, nella seconda equazione, nel modo seguente:
In questo modo il sistema
è immediatamente risolvibile (vedi esercizio n.1):
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trasformiano la frazione a secondo membro,
nella seconda equazione, nel modo seguente:
In
questo modo il sistema è immediatamente risolvibile (vedi esercizio n.1):
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
il sistema è
immediatamente risolvibile (vedi esercizio n.1):
Soluzione degli altri sistemi (mediante artifici)
1) Soluzione
Poniamo z = -y
à y = -zà 
à
à
Il sistema è simmetrico in x e z e, pertanto, è
immediatamente risolvibile:
Ricordando
che z = -y le soluzioni possono essere così scritte:
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Poniamo
v = 2x e z = 5y à
x=v/2 e y=z/5
à 
à
à
Il sistema è
simmetrico in v e z e, pertanto, è immediatamente risolvibile:
Ricordando
che v = 2x e z = 5y le soluzioni possono essere così scritte:
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Poniamo
v = x+7 e z = y +6 àx = v -7 e y
= z -6 à
à
Il sistema è
simmetrico in v e z e, pertanto, è immediatamente risolvibile:
Ricordando
che v = x+7 e z = y+6 le soluzioni possono essere così scritte:
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ricordando
che : x2 - y2
= (x+y)(x-y) à 
à
sostituendo, nella prima equazione a (x +y) il valore 8 à
à
à
che è un sistema di I grado facilmente risolvibile (ad
esempio con il metodo di riduzione) : 
à
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ricordando
che: (x+y)2 = x2
+y2 +2xy à x2 +y2
= (x+y)2 -2xyà
à Sostituendo, nella prima equazione, al posto di x+y
il valore 6 si ha :
à 
Il sistema è simmetrico e, pertanto, è immediatamente
risolvibile:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Poniamo
z = -y à
y = -z à
à
Ricordando che: (x+z)2
= x2 zy2 +2zy
à x2 zy2
= (xzy)2 -2xyà
à 
à
Il sistema è simmetrico in x e z e, pertanto, è immediatamente
risolvibile:
Ricordando
che z = -y, le soluzioni possono così essere scritte:
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ricordando che: x3
+y3 = (x+y)(x2-xy +y2)à 
à
Ricordando che: x2
+y2 = (x+y)2-2xy à 
à
Il sistema è simmetrico e, pertanto, è
immediatamente risolvibile:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Poniamo x3 = v e y3 = z à
à
à
Il sistema è simmetrico in v e z e, pertanto, è
immediatamente risolvibile:
Ricordando
che : v = x3 e z = y3, le soluzioni ( Î
R ) possono essere così
scritte:
e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ricordando che : (x+y)3
= x3 +3x2y +3xy2 +y3 possiamo scrivere:
x3 +y3 = (x+y)3
-3(x2y+xy2)
Facciamo
la radice cubica dei due membri della I equazione e raccogliamo xy nel I membro
della seconda equazione :
Il sistema è simmetrico e, pertanto, è immediatamente
risolvibile:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Poniamo 
e il sistema diventa:
Ricordando che: v2 +z2 = (v+z)2 -2vz à
à
Il sistema è simmetrico in v e z e, pertanto, è
immediatamente risolvibile:
Ricordando
che: x =1/v e y =1/z
, le soluzioni possono essere così
scritte:
e 
