I monomi

Il concetto di monomio

Definizione : un monomio è un insieme di lettere e numeri moltiplicati fra loro.

Esempi di monomi: abac oppure 3a2bac1 .

I seguenti non sono monomi: ab:c ; 3abza+2a

Nota: i numeri possono essere appartenere a qualsiasi insieme numerico (interi, razionali).

Pertanto anche i seguenti sono esempi di monomi:

Monomi in forma normale

Definizione: un monomio si dice in forma normale se ha un solo numero ed ogni lettera è presente una sola volta. Il numero viene scritto per primo e si chiama coefficiente numerico; l'insieme delle lettere si chiama parte letterale del monomio.

Ad esempio, i seguenti sono monomi in forma normale: 3abc ; 2bc ; .

I seguenti, invece, non sono in forma normale: 3a2bc ; 3abca

Come trasformare qualsiasi monomio in forma normale

Ricordando che:

• Un monomio è un prodotto (che gode della proprietà commutativa).
• aaaa (n volte) = aⁿ

Possiamo scrivere, ad esempio :

ü ababac = aaabbc = a³b²c

ü 3a2b5a = (3x2x5)aab = 30a²b

ü

Come si vede, i monomi che si sono trovati rispettano la definizione di monomio in forma normale (hanno un coefficiente numerico ed ogni lettera è presente una sola volta).

Nota: se in un monomio non è indicato il coefficiente numerico, esso vale 1 (elemento neutro della moltiplicazione).

Gradi di un monomio.

Definizione: si definisce grado assoluto di un monomio la somma di tutti gli esponenti delle lettere presenti nel monomio.

Esempi:

abc ha grado assoluto uguale a 3 (l'esponente di ogni lettera è 1)

3a²b³c ha grado assoluto uguale a 6 : esponente della a (2) + esponente della b (3) + esponente della c (1)

a²b²cab ha grado assoluto uguale a 7 . In tal caso notiamo che il monomio non è in forma normale (le lettera a e b sono ripetute) à riconduciamo il monomio in forma normale: a²b²cab = a³b³c à esponente della a (3) + esponente della b (3) + esponente della c (1).

Definizione: si definisce grado relativo di un monomio rispetto ad una o più lettere la somma di tutti gli esponenti della lettera (o delle lettere) considerata.

Esempi:

abc ha grado relativo rispetto ad ogni lettera uguale a 1 (l'esponente di ogni lettera è 1).

3a²b³c ha grado relativo rispetto ad a uguale a 3, rispetto a b uguale a 2, rispetto a c uguale a 1 ( l'esponente della a è 2, l'esponente della b è 3, l' esponente della c è 1. Lo stesso monomio ha grado relativo rispetto alle lettere a e c uguale a 3 (somma degli esponenti di a e di c).

a²b²cab ha grado relativo rispetto ad a uguale a 3, rispetto a b uguale a 3, rispetto a c uguale a 1. Infatti, riconducendo il monomio in forma normale: a²b²cab = a³b³c abbiamo che l'esponente della a è 3, l' esponente della b è 3, l' esponente della c è 1. Il grado relativo rispetto ad a e b è 6 = esponente della a (3) + esponente della b (3).

Particolari tipi di monomi

Monomi simili: se hanno la stessa identica parte letterale (stesse lettere con stesso esponente)

Alcuni esempi

3ab è simile a 2ab

- 4abc è simile a cba poiché cba=abc (proprietà commutativa del prodotto)

3abc non è simile a 3a²b²c

a²b²c è simile a 2aabbc (che ricondotto in forma normale diventa 2a²b²c)

Monomi opposti: se sono simili ed hanno coefficienti numerici opposti.

Alcuni esempi

3ab è l'opposto di - 3ab

- 4abc è l'opposto di 4abc

3a²b²c e - 3a²b²c sono opposti fra loro.

Le operazioni con i monomi

1) Somma algebrica di due monomi simili: si sommano algebricamente i coefficienti numerici dei monomi, mentre la parte letterale rimane la stessa.

Alcuni esempi:

2ab + 3ab = (2+3)ab = 5ab

3abc - abc = (3 -1)abc = 2abc

Nota: se i monomi non sono simili, non si può eseguire alcuna somma algebrica che semplifichi l'espressione. Ad esempio se abbiamo 3a²bc + ab²c, non possiamo fare niente perché i due monomi non sono simili (le lettere, nei due monomi, non hanno gli stessi esponenti), pertanto l'espressione rimane così come è.

2) Prodotto fra due monomi: si moltiplicano fra loro sia i coefficienti numerici, sia le parti letterali.

Alcuni esempi

Nota: il grado assoluto del monomio che si ottiene dal prodotto di due monomi è uguale alla somma dei loro gradi assoluti. (nel primo esempio 2+2 = 4, nel secondo 6+5 = 11).

3) Divisione fra due monomi: si dividono i coefficienti numerici e si sottrae all'esponente di ogni lettera del dividendo, il corrispondente esponente nel divisore.

Alcuni esempi

6a²b⁴c : 3ab³ = (6:3)a^{2 - 1}b^{4 - 3}c = 2abc

6a²b⁴c : 2a²bc = (6:2)a^{2 - 2}b^{4 - 1}c^{1 -1} = 3a⁰b³c⁰ = 3(1)b³(1) = 3b³

Nota: il grado assoluto del monomio che si ottiene dalla divisione di due monomi è uguale alla differenza dei loro gradi assoluti. (nel primo esempio 7- 4 = 3, nel secondo 19 - 7 = 12).

Attenzione: la divisione fra due monomi non si può fare sempre !

Condizione per poter effettuare la divisione fra due monomi: nel dividendo vi devono essere tutte le lettere presenti nel divisore e devono avere un esponente maggiore (o al più uguale) dei corrispondenti esponenti nel divisore.

Alcuni esempi di divisioni che non sono possibili

a³b⁴ : abc poiché nel dividendo non è presente la lettera c

3ab⁵c³ : 2a²b³c⁴ poiché sia l'esponente della a, sia l'esponente della c nel dividendo (1 e 3) sono minori dei corrispondenti esponenti nel divisore (2 e 4).

4) Potenze di monomi: si esegue la potenza del coefficiente numerico e di ogni lettera della parte letterale.

Alcuni esempi: (3a²b)² = (3)²(a²)²b² = 9a⁴b² (2ab²c³)³ = (2)³a³(b²)³(c³)³ = 8a³b⁶c⁹

5a) Minimo comune multiplo fra monomi: è il monomio formato da:

ü coefficiente numerico

o uguale al mcm dei coefficienti numerici dei monomi considerati (se sono interi)

o 1 se almeno uno dei coefficienti numerici dei monomi considerati non è intero.

ü Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei monomi considerati, prese con l'esponente maggiore.

Nota: il minimo comune multiplo fra più monomi è il monomio con grado assoluto minore che è divisibile per tutti i monomi considerati.

5b) Massimo comune divisore fra monomi: è il monomio formato da:

ü coefficiente numerico

Ø uguale al MCD dei coefficienti numerici dei monomi considerati (se sono interi)

Ø 1 se almeno uno dei coefficienti numerici dei monomi considerati non è intero.

ü Parte letterale formata dalle lettere presenti in tutti i monomi considerati (lettere comuni), prese con l'esponente minore.

Nota: il massimo comune divisore fra più monomi è il monomio con grado assoluto maggiore che è divisore di tutti i monomi considerati.

Alcuni esempi

§ Consideriamo i monomi: 6a²bc³ e 4ab³cd

Il loro mcm è 12 a²b³c³d essendo formato da:

ü coefficiente numerico: 12 (mcm fra 6 e 4)

ü parte letterale: a²b³c³d (tutte le lettere considerate con l'esponente maggiore)

Il loro MCD è 2abc essendo formato da:

ü coefficiente numerico: 2 (MCD fra 6 e 4)

ü parte letterale: abc (lettere comuni ai due monomi prese con l'esponente minore)

§ Consideriamo i monomi: 2a²b³c²d⁴ 3abc³d² 6a³b²d

Il loro mcm è 6 a³b³c³d⁴ essendo formato da:

ü coefficiente numerico: 6 (mcm fra 2 ; 3 e 6)

ü parte letterale: a³b³c³d⁴ (tutte le lettere considerate con l'esponente maggiore)

Il loro MCD è abd essendo formato da:

ü coefficiente numerico: 1 (MCD fra 2 ; 3 e 6)

ü parte letterale: abd (lettere comuni ai tre monomi prese con l'esponente minore)