Potenza di un binomio : ( a + b )ⁿ

La potenza di un binomio è un polinomio formato da monomi che hanno tutti grado assoluto uguale a n. Tali i monomi avranno, perciò, la parte letterale formata da:

a^rb^s con: r + s = n

Rimane da stabilire quale sia il coefficiente numerico di ogni monomio.

Si possono utilizzare due strumenti:

1) Il triangolo di Tartaglia (ogni riga corrisponde a un diverso valore di n)

n.	Triangolo dei coefficienti	Sviluppo di (a + b)^n
1	1 1	a + b
2	1 2 1	a^2+2ab+b^2
3	1 3 3 1	a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
4	1 4 6 4 1	a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
5	1 5 10 10 5 1	a^5 +5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
6	1 6 15 20 15 6 1	a^6 +6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6
…	……………………..

Note:

· i due coefficienti estremi di una riga sono pari a 1

· ogni coefficiente interno alla riga è dato dalla somma di 2 coefficienti della riga superiore: quello di pari posto + quello precedente.

· Il segno del coefficiente si determina considerando i segni dei singoli termini del binomio ed il grado (pari o dispari) a cui sono elevati nel monomio considerato. Ad esempio nella potenza (-a+b)⁷ il monomio a⁵b² ha segno negativo (-a è elevato ad un esponente dispari) , il monomio a⁴b³ ha segno positivo (-a è elevato ad un esponente pari).

2) I coefficienti binomiali

Il coefficiente di ogni monomio a^rb^s (con r + s = n) è dato da:

Dove il fattoriale del numero n è uguale a: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)

Nota: 0! = 1 Esempio di fattoriale: 7! = 7x6x5x4x3x2x1=5040

Esempi di utilizzazione del coefficiente binomiale :

· per il monomio a³b² nella potenza (a+b)⁵ il coefficiente è dato da:

· per il monomio a⁶b² nella potenza (a+b)⁸ il coefficiente è dato da:

· per il monomio aⁿ nella potenza (a+b)ⁿ il coefficiente è dato da: