I polinomi in una sola variabile.

Di particolare interesse sono i polinomi in cui sia presente una sola variabile.

Esempi: 3a³ + 2a² - 5a +1 (polinomio con la sola variabile a); (polinomio nella sola variabile x)

Gradi di un polinomio in una sola variabile: in tal caso il grado assoluto è lo steso del grado relativo (c’è solo una variabile !)

Negli esempi precedenti, il grado assoluto del primo polinomio è 3, così come il grado relativo alla lettera a; il grado assoluto del secondo polinomio è 5, così come il grado relativo rispetto alla lettera x .

Per questo motivo si parla solo di grado del polinomio (senza specificare se sia assoluto o relativo)

Rappresentazione di un polinomio in una sola variabile: con una lettera maiuscola e, fra parentesi, la variabile.

Esempi: A(x)= 3x⁵ -4x² +11 ; B(a)= 3a³ + 2a² - 5a +1

Nota: d’ora in avanti consideriamo polinomi nella variabile x; tutto quello che si dirà varrà, ovviamente, anche per i polinomi in altre variabili.

Operazioni con i polinomi:

Con i polinomi in una sola variabile si possono eseguire tutte le operazioni viste per i polinomi.

In più è possibile eseguire la divisione fra due polinomi:

A(x) : B(x) = Q(x) con resto R(x)

Significa che il risultato della divisione fra i polinomi A e B (nella stessa variabile x) dà come quoziente il polinomio Q(x) ed il resto è espresso dal polinomio R(x).

Come per i numeri, così anche per la divisione di questo tipo di polinomi si ha che: Quoziente x Divisore + Resto = Dividendo

Esempio: se 15 : 2 = 7 con resto di 1 à 7 x 2 + 1 = 15

Pertanto potremo scrivere che:

se A(x) : B(x) = Q(x) con resto R(x) à

Considerando che il risultato di un prodotto fra due polinomi è un polinomio che ha grado assoluto pari alla somma fra i gradi assoluti dei due polinomi, e tenendo conto del principio di identità dei polinomi, si può affermare che:

B(x) e Q(x) devono avere grado minore, o al più uguale, a quello di A(x) (altrimenti l’uguaglianza sarebbe fra due polinomi composti da monomi diversi).

R(x) deve avere grado inferiore a quello di B(x) (perché altrimenti sarebbe anch’esso divisibile per B(x))

La somma dei gradi di A(X) e di B(x) è uguale al grado di A(x).

Come si effettua la divisione: ad esempio: (6x⁵ - 3x³ +2x -2) : (x² + 2x -3)

Si ordinano il dividendo ed il divisore secondo le potenze decrescenti della variabile (aggiungendo le eventuali potenze mancanti con monomi con coefficiente numerico nullo)	6x^5 +0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3
Dividiamo il primo monomio del dividendo per il primo monomio del divisore e riportiamo il risultato come primo termine del quoziente.	6x^5 +0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3
Moltiplichiamo il termine messo nel quoziente per tutti i termini del divisore e li poniamo sotto quelli del dividendo, rispettando la posizione relativa all’esponente.	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3 6x^5 +12x^4 -18x^3
Sottraiamo dal dividendo il polinomio così trovato	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2
Dividiamo il primo termine del polinomio risultante dalla sottrazione con il primo termine del dividendo ed aggiungiamo il risultato al quoziente	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2
Moltiplichiamo il termine aggiunto al quoziente per il divisore e scriviamo il risultato sotto l’ultimo polinomio scritto sotto il dividendo	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2
Eseguiamo la sottrazione	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2
Dividiamo il primo termine del polinomio risultante dalla sottrazione con il primo termine del dividendo ed aggiungiamo il risultato al quoziente	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2
Moltiplichiamo il termine aggiunto al quoziente per il divisore e scriviamo il risultato sotto l’ultimo polinomio scritto sotto il dividendo	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2 29x^3 +58x^2 -87x
Eseguiamo la sottrazione	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2 29x^3 +58x^2 -87x ------------------------- -82x^2 +89x -2
Dividiamo il primo termine del polinomio risultante dalla sottrazione con il primo termine del dividendo ed aggiungiamo il risultato al quoziente	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x -82 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2 29x^3 +58x^2 -87x ------------------------- -82x^2 +89x -2
Moltiplichiamo il termine aggiunto al quoziente per il divisore e scriviamo il risultato sotto l’ultimo polinomio scritto sotto il dividendo	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x -82 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2 29x^3 +58x^2 -87x ------------------------- -82x^2 +89x -2 -82x^2 -164x +246
Eseguiamo la sottrazione Il polinomio che abbiamo ottenuto ha grado inferiore al divisore à ci dobbiamo fermare.	6x^5 + 0x^4 - 3x^3 +0x^2 +2x -2 : x^2 + 2x -3 = 6x^3-12x^2+29x -82 6x^5 +12x^4 -18x^3 ^--------------------------------------------------------- - 12x^4 +15x^3 +0x^2 +2x -2 - 12x^4 -24x^3 +24x^2 ------------------------------- 29x^3 -24x^2 +2x -2 29x^3 +58x^2 -87x ------------------------- -82x^2 +89x -2 -82x^2 -164x +246 ----------------------------- +153x - 248
Il quoziente è così completo e il polinomio a cui siamo arrivati è il resto della divisione.	6x^5 - 3x^3 +2x -2 : x^2 + 2x - 3 = 6x^3-12x^2+29x -82 ---------------------- resto: +153x - 248

Caso particolare in cui il divisore è un binomio di I grado del tipo (x - a)

In questo caso valgono due importanti teoremi:

Teorema del resto: dividendo un polinomio per il binomio (x - a) il resto della divisione è uguale al valore assunto dal polinomio attribuendo alla variabile x il valore a. Se A(x) : (x-a) à R(x) = A (a)

Esempio: (3x³ - 2x -18) : (x -2) dà come resto 2 = 3(2)³ -2(2) -18

Teorema di Ruffini: un polinomio è divisibile per il binomio (x - a) se il polinomio si annulla mettendo al posto della x il valore a.il resto della divisione è uguale al valore assunto dal polinomio attribuendo alla variabile x il valore a.

A(x) : (x-a) = Q(x) con Resto = 0 SE A(a)=0

Esempio: (-3x² + 2x +1) è divisibile per (x -1)

poiché il resto = -3(1)² +2(1) +1=0

In questo caso, inoltre, la divisione può essere effettuata più agevolmente applicando la cosiddetta Regola di Ruffini

esempio (3x² - 2x +1) : (x -2)

Scriviamo una tabella mettendo nella prima riga della seconda colonna i coefficienti della x (secondo l’ordine decrescente degli esponenti), con lo 0 al posto delle potenze non presenti nel polinomio. Nella prima riga della terza colonna il termine noto. Nella seconda riga della prima colonna il valore di del termine noto del divisore (-a)

	3 0 -2	-18
-2

Nella terza riga della seconda colonna riportiamo il primo coefficiente.

	3 0 -2	-18
-2
	3

Moltiplichiamo il primo coefficiente per il valore di (-a) e il risultato lo poniamo nella seconda posizione della seconda riga della seconda colonna.

	3 0 -2	-18
-2	-6
	3

Sottraiamo al valore della prima riga quello della seconda ed il risultato lo mettiamo nella terza riga.

	3 0 -2	-18
-2	-6
	3 6

Moltiplichiamo il risultato ottenuto (nell’operazione precedente) per il valore di (-a) e il risultato lo poniamo nella seconda posizione della seconda riga della seconda colonna.

	3 0 -2	-18
-2	6 -12
	3 6

Sottraiamo dal valore della prima riga quello della seconda ed il risultato lo mettiamo nella terza riga.

	3 0 -2	-18
-2	6 -12
	3 -6 +10

Moltiplichiamo il risultato ottenuto (nell’operazione precedente) per il valore di (-a) e il risultato lo poniamo nella seconda riga della terza colonna (poiché siamo arrivati alla fine della seconda colonna).

	3 0 -2	-18
-2	6 -12	-20
	3 -6 +10

Sottraiamo dal valore della prima riga quello della seconda ed il risultato lo mettiamo nella terza

riga.

	3 0 -2	-18
-2	6 -12	-20
	3 -6 +10	+2

I numeri scritti nella terza riga della seconda colonna danno i coefficienti del quoziente (a partire dal termine di grado inferiore a quello del dividendo), mentre nella terza riga della terza colonna troviamo il valore del resto.

	3 0 -2	-18
-2	6 -12	-20
	3 -6 +10	+2

Quoziente: 3x² -6x +10

Resto = +2