Uso didattico di un semplice goniometro per misurare l'inclinazione dei raggi del Sole

"Le guardie della citta` dicono alla notte: "Con l'alba la bellezza sorgera` da oriente". (Gibran Kahlil Gibran Il Profeta Ed. Guanda)
Questa è la versione html di un articolo apparso su:
Didattica delle Scienze e informatica nella scuola n. 192 nov. 1997
autore Giuseppe Lamartina (lamartina@ctonline.it)

Premessa
Descrizione dello strumento
Alcune definizioni (altezza zenitale, declinazione solare)
Formule e Funzioni trigonometriche che approssimano i dati
Disegni esplicativi con la grafica della tartaruga
Programmi in Pascal eseguibili con ms-dos:

per visualizzare il movimento dei raggi solari al variare dei giorni ( eseguire dclnzdin.exe o solea_ct.exe )
per sapere la declinazione di oggi e la differenza mezzogiorno vero - mezzogiorno medio di oggi con relativi grafici (eseguire equaztem.exe )

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Premessa

Per interessare gli alunni alla conoscenza di alcuni concetti fondamentali di astronomia (latitudine, equinozio, solstizio, declinazione degli astri ed altri) che possono anche avere un immediato riscontro pratico, si propone la costruzione di un semplice strumento che puo` essere facilmente realizzato in tutte le classi dagli stessi alunni, i quali cosi` prenderanno dimestichezza con alcuni argomenti fondamentali che prima erano patrimonio comune delle persone colte e che hanno svolto un ruolo inestimabile nella storia della scienza. Grazie ad alcuni grafici i concetti introdotti verranno resi chiari e facilmente comprensibili da parte degli studenti e si cerchera` di dare un esempio didatticamente valido di "matematizzazione della realta`" partendo da semplici proprieta` geometriche del piano e successivamente dalle proprieta` della funzione seno. Questo tentativo pur con i suoi limiti si muove nella linea indicata ormai venti anni fa da Lucio Lombardo Radice che intitolo` il suo libro di testo proprio "Il metodo matematico" (coautrice Mancini Proia ed. Principato) .
L'esperienza di chi scrive, maturata nelle classi, dimostra che l'introduzione di argomenti di astronomia desta un grande interesse negli studenti, da` una motivazione immediata allo studio, e dona concretezza allo studio della matematica e della fisica. Anche gli autori di libri di testo di fisica hanno introdotto alcuni concetti astronomici in alcuni capitoli come ad esempio V. Zanetti nel suo interessantissimo Percorsi di Fisica per il biennio (ed. Zanichelli) ed anche il famosissimo per l'impostazione storica Progetto Fisica (AA. VV. ed. Zanichelli).
Nella parte finale verranno presentati i programmi, scritti in Pascal utilizzando la "grafica della tartaruga", necessari per la realizzazione dei disegni esplicativi utilizzati.

Descrizione dello strumento per la misurazione della latitudine

Per misurare l'inclinazione dei raggi del Sole si puo` ricorrere ad una semplicissima apparecchiatura:
- una tavoletta rigida, di legno od altro materiale che puo` ruotare intorno ad un bulloncino mantenuto in posizione orizzontale, con un goniometro attaccato in modo tale da avere il centro nel bulloncino,
- un tubicino di plastica rigida dove indirizzare i raggi del Sole (evitando cosi` di doverlo traguardare con gli occhi, cosa che puo` essere pericolosa !!!),
- un filo a piombo legato sempre con l'asse di rotazione del goniometro (bulloncino).
Il goniometro (evidentemente piu` grande possibile; ci si puo` servire di una fotocopia ingrandita di un piccolo goniometro facilmente reperibile) deve essere montato con il centro che cade nell'asse di rotazione della tavoletta su cui e` incollato e che deve essere parallela al tubicino di plastica.
In figura: la circonferenza goniometrica, il filo a piombo e la tavoletta sormontata dal tubicino di plastica.

Per orientare il tubicino in modo tale da farvi entrare un raggio di Sole bastera` osservare la sua proiezione sul pavimento oppure in un apposito schermetto: quando appare un nitido cerchietto luminoso allora il tubicino si puo` considerare in direzione del Sole ed in quel momento grazie al filo a piombo e` possibile misurare alcuni angoli interessanti.
(Il tubicino e` lungo 97 cm ed ha diametro 1.2 cm)

Alcune definizioni

Latitudine: distanza angolare misurata lungo il meridiano fra l'equatore (latitudine zero) e il parallelo passante pre una data localita`.
L'angolo formato fra la direzione del Sole e la direzione del raggio terrestre (cioe` del filo a piombo) immediatamente misurabile con lo strumento appena descritto, e` opposto al vertice con un angolo che viene chiamato altezza zenitale del Sole.
Lo zenit si trova nella direzione perpendicolare al piano dell'orizzonte. Allora l'altezza zenitale e` l'angolo formato fra la direzione del Sole e lo zenit.
Il complementare dell'altezza zenitale e` proprio l'inclinazione del Sole rispetto il piano dell'orizzonte.
Un'altra definizione che ci sara` utile in seguito e` quella di declinazione di un astro. Essa e` l'angolo formato fra la direzione di un particolare astro e il piano dell'Equatore terrestre, ad un certo momento. Pertanto la declinazione solare e` l'angolo con l'Equatore individuato dai raggi del Sole. Questo angolo ovviamente varia nel corso dell'anno.
Nel seguito per brevita` si considera il valore della altezza zenitale e della altezza sul piano dell'orizzonte sempre a mezzogiorno del posto.

Il mezzogiorno vero e` il passaggio del Sole nel piano del meridiano del posto. Il momento in cui esso avviene non sempre coincide con il mezzogiorno medio (mezzogiorno dell'orologio). Questo e` dovuto alla diversa velocita` della Terra nella sua rotazione intorno al Sole. Per osservare il grafico che raffigura la differenza fra mezzogiorno vero e mezzogiorno medio al variare dei giorni dell'anno: equazione del tempo

In figura il risultato del programma riportato appresso nel testo. Appare un raggio solare che arriva alla latitudine del Tropico del Cancro ed un altro che arriva alla latitudine di Catania. L'altezza zenitale a Catania piu` la latitudine del Tropico da` la latitudine di Catania.

Per osservare il disegno relativo al solstizio d'inverno

Formule e approssimazioni

Alcune considerazioni dedotte dai disegni e dalle definizioni date sono immediate: la somma dell'altezza zenitale e della declinazione solare e` costantemente uguale alla latitudine del posto dove vengono effettuate le misure. Infatti, tenendo presente (vedi figura precedente) che due rette parallele (raggi solari) tagliati da una trasversale (raggio terrestre), formano angoli corrispondenti uguali, si ottiene che l'altezza zenitale e' uguale alla differenza fra latitudine di Catania e declinazione solare. In particolare durante gli Equinozi (declinazione solare zero), la latitudine e` uguale alla altezza zenitale.
E` sufficiente conoscere la declinazione solare del giorno, per ottenere la latitudine del posto dove si effettua la misura della altezza zenitale. Infatti per ogni giorno dell'anno, si ha:

latitudine = altezza zenitale + declinazione solare (1)

L'inclinazione dei raggi solari sull'orizzonte e` il complementare dell'altezza zenitale.

Per vedere un disegno che chiarisce la situazione che si viene a creare durante gli equinozi ed in particolare il fatto che in questi due giorni l'altezza zenitale coincide con la latitudine del posto in cui viene misurata: equinozio

I disegni qui riportati appaiono anche in L'ombra e la geografia di O. Arpino (in Didattica della Scienza e informatica nella scuola n. 162 nov. 1992 ed. La Scuola).
N. B. Sino a questo punto la semplice sperimentazione che si propone puo` essere effettuata anche dagli alunni del biennio. Per il seguito si richiede la conoscenza della definizione della funzione seno.

Per leggere la declinazione solare che alcune volte si trova in un grafico particolare, si puo` ricorrere ai valori approssimativi dedotti da due semplici funzioni trigonometriche (t num. giorni):

d=23.45*sin((Pi/186)*t)

descrive la declinazione solare dal 21/3 al 23/9 (186 gg);
per i successivi 179 gg si ha

d=23.45*sin((Pi/179)*(186-t)).

23.45 gradi latitudine del Tropico.
Esse differiscono per la durata dei giorni primavera+estate (186 gg) fra un equinozio e l'altro, e autunno+inverno (179 gg) pure fra un equinozio e l'altro. Questa differenza e` causata dalla diversa velocita` della Terra intorno al Sole.

Grafico della declinazione solare al variare dei giorni dell'anno

Volendo calcolare l'inclinazione del Sole sull'orizzonte si puo` utilizzare una funzione che dipende dalla latitudine del posto.
Infatti si ha (l=latitudine):
a+d=l ; alfa=90-a
e quindi:
alfa=d+(90-l) .

Sostituendo la formula approssimata per la declinazione solare:

alfa= 23.45*sin((Pi/186)*t)+(90- latitudine)
alfa= 23.45*sin((Pi/179)*(186-t))+(90- latitudine)

Ad es. alla latitudine di S. Agata Li Battiati (CT) 37.55 gradi, si deve aggiungere 52.45 complementare di 37.55.
E` chiaro che utilizzando semplicissimi programmi in Pascal si possono tabulare queste funzioni o anche farne il grafico utilizzando ad esempio le procedure linea e disegnaPunto facenti parte del modulo precompilato scritto dall'autore insieme a O. Casella e S. Grillo per facilitare l'uso della grafica con l'elaboratore per chi utilizza il linguaggio Turbo Pascal (presentazione su Didattica delle Scienze e informatica nella scuola n. 163 gen. 1993 ed. La Scuola Brescia).

Grafico della altezza del Sole a Catania al variare dei giorni dell'anno

Il sottoscritto ha verificato giornalmente (Sole permettendo) gli angoli dell'altezza zenitale confrontandoli con quelli ricavati dalle formule scritte prima. Non si e` lasciata sfuggire l'opportunita` offerta dall'equinozio di primavera che ha consentito la rilevazione immediata e diretta della latitudine con la partecipazione interessata di alunni ed insegnanti. Ci auguriamo che un risultato a lunga scadenza di queste attivita` possa suscitare nei giovani l'amore per l'astronomia una scienza che non dovrebbe essere trascurata come spesso accade oggi.

Disegni con la grafica della tartaruga

Utilizzando la grafica della tartaruga ovvero il simpatico automa inventato per disegnare con facilita` su uno schermo collegato ad un computer, e` molto istruttivo realizzare quei disegni che rendono chiare le definizioni appena date ed evidenziano anche le relazioni esistenti fra gli angoli di cui abbiamo parlato.
L'automa tartaruga infatti rende particolarmente agevole la manipolazione degli angoli dato che il suo stato e` determinato sostanzialmente dalla posizione e dall'angolo rispetto una direzione predeterminata (retta passante dal centro dello schermo orientata dal basso verso l'alto). Gli operatori di rotazione cui la tartaruga obbedisce (destra, sinistra e assegna direzione) permettono di tracciare con facilita` segmenti comunque orientati nel piano.
Per il listato in Pascal