Partendo dal presupposto di rendere minimi la somma dei
quadrati degli scarti fra le y sperimentali e le y teoriche, e che la
retta di regressione debba passare per il punto di coordinate (Mx , My
) detto "baricentro" ovvero (media delle x, media valori y), è
possibile dimostrare in maniera semplice la formula che dà il coefficiente angolare o
pendenza della retta di regressione.
Conoscendo i punti sperimentali (x , y ) si deve trovare la retta che approssima meglio i dati a disposizione:
y=a x + b
a coefficiente angolare, b ordinata all'origine.
Imponendo il passaggio da (Mx , My ), si ha:
My= a Mx +b
e quindi:
b= My - a Mx
Per semplificare i calcoli operiamo una traslazione che porti l'origine del sistema di riferimento cartesiano nel punto (Mx , My ). L'equazione della retta da trovare sarà del tipo:
y-My =a (x- Mx)
Operando la traslazione
Y=y-My
X=x- Mx
Si ha l'equazione:
Y=a X
Applicare il metodo dei minimi quadrati vuol dire calcolare la somma dei quadrati degli scarti fra ciascun valore di Yi e il corrispondente valore teorico dato da a Xi :
(Y1-a X1)2 +(Y2-a X2)2 +...+(Yn-a Xn) 2
Sviluppando i quadrati:
Y12 +a2 X12 -2 a X1 Y1 + Y22 +a2 X22 -2 a X2 Y2 + ...+ Yn2 +a2 Xn2 -2 a Xn Yn=
=Y12+ Y22+ ...+ Yn2 +a2(X12+ X22 +...+ Xn2 )-2 a (X1 Y1+X2 Y2+...+Xn Yn )
In questa espressione la variabile è a, la pendenza
della retta da determinare, ed inoltre questa espressione si può
identificare come una semplice parabola con il coefficiente di secondo
grado positivo (in rosso). Il vertice della parabola coincide con il
minimo cercato. Per determinare per quale valore di a si ha il minimo
basta applicare la classica formula del vertice di una parabola:
coefficiente di primo grado (in verde) cambiato di segno diviso il
doppio del coeffidiente di secondo grado.
a=(X1 Y1+X2 Y2+...+Xn Yn )/(X12+ X22 +...+ Xn2 )
In altri termini a è uguale alla sommatoria degli XiYidiviso la sommatoria degli Xi2.
Adesso basta sostituire, ad Xi, xi-Mx , e ad Yi, yi- My .
Regressione quadratica
Nel caso in cui si faccia l'ipotesi di interpretare i
dati sperimentali con una parabola di vertice l'origine degli assi cioè
di equazione:
y=a x2
si può seguire una dimostrazione semplice della formula che fornisce il
coefficiente a della parabola a partire dal rendere minima la somma dei
quadrati degli scarti fra il valore delle y sperimentali e il
corrispondente valore delle y teoriche.
La somma da rendere minima si può scrivere, analogamente a prima, come:
(y1-a x12 )2 +(y2-a x22 )2 +...+(yn-a xn2 ) 2
Sviluppando i quadrati:
y12 +a2x14 -2 a x12 y1 + y22 +a2 x24 -2 a x22 y2 + ...+ yn2 +a2 xn4 -2 a xn2 yn=
=y12+ y22+ ...+ yn2 +a2(x14+ x24 +...+ xn4)-2 a (x12 y1+x22 y2+...+xn2 yn )
Anche questa espressione si può considerare una
parabola nella variabile a e il minimo si raggiunge nel vertice che si
può calcolare semplicemente:
a=(x12 y1+x22 y2+...+xn2 yn )/(x14+ x24 +...+ xn4)
