Moto Parabolico

La figura mostra la traiettoria di un oggetto dotato di velocità iniziale lungo y e lungo x in una modalità che si potrebbe definire multi flash: come se ci fosse un flash che illumina l'oggetto ad intervalli regolari di tempo.

Osservando bene, i quadratini mettono in evidenza che la velocità orizzontale rimane costante invece la velocità verticale varia. Se prendiamo positiva la velocità verticale iniziale essa diminuisce fino a diventare zero nel vertice della parabola e poi cambia di segno diventando sempre più piccola. La velocità verticale diminuisce sempre durante il moto ! L'accelerazione di gravità agisce solo in verticale ed è costante sia in salita che in discesa.

Prendiamo adesso un sistema di riferimento con l'asse y diretto verso il basso.

Le equazioni del moto sono

x = v_ox t
y = v_oy t+g t²/2

Dalla prima troviamo il tempo:

t = x/v_ox

e lo sostituiamo nella seconda:

y = v_oy x/v_ox+g x²/(2 v_ox²)

Anche questa è l'equazione di una parabola
(y in funzione di x).
Ponendo y=0 si trovano i punti di incontro della parabola con l'asse orizzontale:

x = 0 x = -2 v_oy v_ox/g

La seconda è la formula della gittata.
L'altezza massima raggiunta è:

y = v_oy²/(2 g)

Se indichiamo con v_o la velocità iniziale e con alfa l'angolo da essa formato con l'asse x, possiamo trovare le due componenti:

v_ox = v_o cos(alfa)
v_oy = v_o sen(alfa)

La gittata, trascurando un segno meno, diventa:

x = 2 sen(alfa) cos(alfa) v_o²/g

Ovvero:

x = sen(2 alfa) v_o²/g

Il valore massimo del seno si ha a 90° e quindi quando alfa è 45 ° la gittata è massima.

Nelle misure che ci accingiamo ad effettuare la velocità iniziale è solo lungo x mentre la componente y è zero.

Ponendo v_oy = 0 nelle equazioni del moto si ha:

y = g x²/(2 v_ox²)

In sostanza il rapporto y/x² teoricamente deve essere costante nel caso in cui sia trascurabile la velocità iniziale lungo y.

Codifica in Python di una funzione per il calocolo e la rappresentazione grafica di un moto parabolico in assenza di attrito.

def vai(vx,vy):
    x = 0.0 # m
    y = 0.0 # m
    dt = 0.01 # s
    t = 0 # s
    n=0
    while y>=0:
                vy=vy-9.8*dt #velocita' m/s
                x=x+vx*dt
                y=y+vy*dt
                fin.asPos(x,y) #assegna Posizione
                n=n+1
                t = t+dt

Volendo considerare l'attrito:

def vai2(vx,vy):
    x = 0.0 # m
    y = 10.0 # m
    m=0.02 #massa kg
    k=0.002
    dt = 0.02 # s
    t = 0 # s
    n=0
    while y>=0:
                ax=-k*vx/m
                ay=-9.81-k*vy/m
                vx=vx+ax*dt
                vy=vy+ay*dt #velocita' m/s
                x=x+vx*dt
                y=y+vy*dt
                fin.asPos(x,y)
                n=n+1
                t = t+dt

Indicazioni pratiche per le misure

Scopo delle misure è quello di verificare che la traiettoria di una biglia lanciata con velocità verticale trascurabile è una parabola passante per l'origine.
Assicurare con il nastro adesivo un foglio grande di carta millimetrata al pannello di legno facendo in modo che il vertice in alto a sinistra si trovi nel punto in cui la biglia esce dal tubo di gomma. In questo modo si stabilisce un riferimento cartesiano con l'asse x orizzontale e l'asse y diretto verso il basso.
Preparare un battente con un foglio di carta millimetrata e sovrapposto un foglio di carta carbone in modo tale che la pallina di vetro urtando il battente lasci un punto sulla carta millimetrata. Questo punto rappresenta la y della parabola mentre la x viene determinata dalla posizione in cui si tiene fermo il battente con le mani .
Mantenendo fermo il battente si ripete si ripete un certo numero di volte il lancio della pallina (per esempio 4). Si apre quindi il foglio di carta carbone e si stima il valor medio da attribuire alla y. Segnare i punti ottenuti per non confonderli con i successivi, spostare il battente e ricominciare i lanci.
Una volta ottenuta la tabella dei dati calcolare il rapporto y/x² che dovrebbe essere quasi costante. Calcolare gli scarti dalla media e lo scarto quadratico medio.