Numeri perfetti

6	= 1 + 2 + 3
28	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +…+ 30 + 31
8.128	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +…+ 126 + 127

 

Pitagora si compiaceva dei numeri perfetti, ma non era appagato semplicemente dal loro ritrovamento; desiderava piuttosto scoprirne il significato profondo. Una delle sue intuizioni fu che la perfezione era strettamente connessa al “due”. I numeri 4, 8, 16, ..., sono note come potenze di due e possono essere scritti come 2ⁿ, dove la n rappresenta il numero di 2 moltiplicati tra loro. Tutte queste potenze di due non sono numeri perfetti per uno scarto minimo, poiché la somma dei loro divisori ammonta sempre a una cifra inferiore di un’unità al numero stesso.

22 = 4	Divisori 1, 2	Somma = 3
23 = 8	Divisori 1, 2,4	Somma = 7
24 = 16	Divisori 1, 2,4,8	Somma = 15
25 = 32	Divisori 1, 2,4,8,16	Somma = 31

 

Due secoli dopo, Euclide avrebbe perfezionato il nesso istituito da Pitagora tra il 2 e la perfezione. Euclide scoprì che i numeri perfetti sono sempre multipli di due numeri, uno dei quali è una potenza di 2 e l’altro è la successiva potenza di 2 meno 1. Vale a dire:

6	=   21 * (22 - 1)
28	=   22 * (23 - 1)
496	=   23 * (24 - 1)
8128	=   24 * (25 - 1)

Oggi i computer hanno continuato la ricerca dei numeri primi perfetti e hanno trovato esempi di numeri colossali come 2^216.090 * (2^216.091 - 1), un numero con più di centotrentamila cifre che obbedisce alla regola di Euclide.

E' possibile affermare con un ampio margine di sicurezza che per quanto il numero perfetto "naturale" possa essere composto da molte cifre, la presenza dei primi 3 numeri si reitera. E’ ovvio che il 3° numero perfetto 496 in modulo 90 corrisponda al 46. In base a quanto suddetto si può ipotizzare, quindi, che in modulo 90 gli unici numeri perfetti risultano essere 6, 28 e 46.

Alcune curiosità:

•  si può dimostrare che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale a somme di successioni dei numeri dispari al cubo.

         Ad esempio:    496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

                                 8.128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

 

•  è anche facile verificare che la somma dei reciproci di tutti i divisori di un numero perfetto, incluso il numero  stesso,  è sempre uguale a 2.

          Ad esempio:   28 → 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

                                  496 → 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496 = 2

•  sommando ciascun elemento della cifra di un numero perfetto maggiore di 6, si ottiene un numero le cui cifre sommate tra loro convergono nel numero uno.

          Ad esempio:  28 → 2+8=10 e quindi 1+0= 1

                                 496 → 4+9+6=19=1+9=10=1+0=1

•  se n è una potenza del 2 e se n+(n-1) è un numero primo, allora n² (n-1)²+(n-1)= numero perfetto

22 +12 +1	= 6
42 +32 +3	= 28
162 +152 +15	= 496
642 +632 +63	= 8128

•   se (2ⁿ-1)= p numero primo, allora (p²+p)/2 = numero perfetto

2n-1 = p	(p2+p) = a	a / 2 =         perfetto
22-1 = 3	9 + 3  = 12	12 / 2 =   6    perfetto
23-1 = 7	49 + 7 = 56	56 / 2   = 28    perfetto
25-1 = 31	961 + 31 = 992	992 / 2   = 496  perfetto

•  tutti numeri perfetti pari terminano per 6 o per 8 (si tratta di una congettura non ancora dimostrata)

6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128 2658455991569831744654692615953842176 191561942608236107294793378084303638130997321548169216

•  ciascun numero perfetto si può scrivere come differenza di due potenze del 2, ovvero: 2ⁿ – 2^{(n-1) / 2}

           Con n=3    si ha    23 –  22/2   =    23 – 21 =     8  –   2    =      6
           Con n=5    si ha    25 –  24/2   =    25 – 22 =   32  –   4    =    28
           Con n=9    si ha    29 –  28/2   =    29 – 24 =  512 – 16    =   496
           Con n=13  si ha  213 – 212/2 =  213 – 26 = 8192 – 64    = 8128

•  un numero perfetto è sempre il prodotto tra un numero primo e un numero lievemente difettivo:

            2 * 3 = 6;  4 * 7 = 28 ;  16 * 31 = 496 e 64 * 127 = 8128;

•  se 2^p-1 è primo, allora 2^2p-1 – 2^p-1 è perfetto;

            Con p = 2 si ha 2^p-1 = 3 numero primo → 6 numero primo

            Con p = 3 si ha 2^p-1 = 7 numero primo → 28 numero primo

            Con p = 5 si ha 2^p-1 = 31 numero primo → 496 numero primo

•  un numero primo non può essere perfetto;

•  nessuno ha mai trovato numeri perfetti dispari, e nemmeno si sa se numeri di questo genere possano esistere. Uno dei primi risultati riguardanti i numeri perfetti dispari è il teorema di Eulero. Egli ha dimostrato che se esistessero numeri perfetti dispari avrebbero la seguente forma :

            n = p₁^k1 * p₂^k2 * p₃^k3 * ...... * p_r^kr

          dove p₁, p₂, ...., p_r sono primi dispari distinti; p₁ ≡ k₁ ≡ 1 (mod 4) e le        rimanenti potenze k₂, k₃, ......, k_r sono pari;

•  i numeri perfetti che si conoscono sono sempre pari ed Eulero, nel 1772, trovò l’ottavo numero perfetto:

2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176.