Numeri di Marsenne

Numeri di Mersenne, ovvero quei numero primi della forma 2ⁿ-1 con n numero primo > 1.

I numeri primi di Mersenne iniziali sono 3, 7, 31, 127.

Esiste una relazione tra numeri perfetti e i numeri primi nella forma 2ⁿ-1.

Infatti, se 2ⁿ-1 è un numero primo di Mersenne, allora 2^{(n
- 1)}* (2ⁿ - 1) è un numero perfetto.

I numeri primi della forma 2ⁿ - 1 con n primo si chiamano numeri primi di Mersenne, dal nome del frate minimo francese che ebbe l’idea di applicare tale formula alla ricerca dei numeri primi.

I numeri di Mersenne ed i numeri perfetti sono legati dalla relazione di Eclide che determinò nel 300 a. C.:

se n è un numero primo e, a sua volta 2^ⁿ - 1 è sempre primo, allora 2^{^{n - 1}} (2ⁿ - 1) è un numero perfetto.

E’ sufficiente trovare un numero primo di Mersenne, quindi, per avere anche, collegato a questo, un numero perfetto.

E' aperto il problema di stabilire se esistono o meno infiniti primi di Mersenne.

Alcune curiosità:

ad oggi si conoscono 40 numeri primi di Mersenne e quindi 40 corrispondenti numeri perfetti, precisamente quelli corrispondenti ai seguenti valori di n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011. Il 40° numero primo di Mersenne é stato trovato il 17 novembre 2003 dal computer di Michael Shafer: 2^20.996.011- 1 che presenta ben 6.320.430 cifre decimali;

Per visionare la lista completa dei numeri di Mersenne sino ad oggi trovati clicca qui.

l’anno dei numeri perfetti è stato il 1952 quando vennero scoperti, in pochi mesi, ben cinque nuovi numeri primi di Mersenne: 2⁵²¹ - 1, 2⁶⁰⁷ - 1, 2¹²⁷⁹ - 1, 2²²⁰³ - 1 e 2²²⁸¹ - 1 ognuno dei quali dava quindi origine a un nuovo numero perfetto.