∂(n) = somma dei divisori di n escluso il numero stesso.
I due numeri amici più celebri tra i matematici dell'antica Grecia erano 220 e 284:
divisori di 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
divisori di 284: 1, 2, 4, 71, 142
Infatti:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Ecco qualche esempio di numeri amici
| 220 | 284 |
| 2.620 | 2.924 |
| 5.020 | 5.564 |
| 6.232 | 6.368 |
| 10.744 | 10.856 |
| 17.296 | 18.416 |
| 63.020 | 76.084 |
| 66.928 | 66.992 |
| 67.095 | 71.145 |
| 69.615 | 87.633 |
| 122.265 | 153.176 |
| 141.664 | 153.176 |
| 142.310 | 168.730 |
| 171.856 | 176.336 |
| 176.272 | 180.848 |
| 196.724 | 202.444 |
| 308.620 | 389.924 |
| 437.456 | 455.344 |
| 503.056 | 514.736 |
| 522.405 | 525.915 |
| 609.928 | 686.072 |
| 1.175.265 | 1.438.983 |
| 1.280.565 | 1.340.235 |
| 1.358.595 | 1.486.845 |
| 9.363.584 | 9.437.056 |
| 196.421.715 | 224.703.405 |
Thabit ibn Kurrah (ca. 850 A.D.) notò che
se n > 1 e p = 3 * 2n-1-1, q = 3 * 2n-1, e r = 9 * 22n-1-1 sono primi, allora 2npq e 2nr sono numeri amici
Esempio: per n = 2, p = 5, q = 11, r = 71 → 220 e 284 sono amici;
Una formula simile a quella di Thabit permette di identificare i numeri amici:
sia n un intero positivo > 1, b (0<b<n) tale che posto g = 2n-b + 1 il numero r1 = 2b * g - 1 sia primo.
Scelto a (0<a<n) tale che anche i numeri
p = 2a + (2n+1 - 1) * g,
r2 = 2n - a * gp - 1 e
s = (r1 + 1) (r2 + 1) - 1 = 2n-a+b * g2 p - 1 siano primi, allora
A = 2n * p * r1 * r2 e B = 2n * p * s sono numeri amici
Esempio: per n = 2, a = b = 1 fornisce la coppia A = 22 * 23 * 5 * 137 e B = 22 * 23 * 827.
Alcune curiosità:
i numeri in coppia fino ad ora trovati sono entrambi pari o entrambi dispari, ma non si conosce la ragione per cui non possa esserci una coppia costituita da un numero pari e uno dispari;
si conoscono almeno 40.000 coppie di numeri amicabili;
si suppone che le coppie
siano infinite.
per i Greci questi numeri erano simbolo di amicizia e anche nella Bibbia ritroviamo il 220 nel numero di pecore che Giacobbe donò a Esaù come segno di amicizia e affetto. I due numeri 220 e 284 hanno sempre avuto una grande importanza magica e si riteneva che favorissero l'amore;
la seconda coppia di numeri amicabili, il 17.296 e il 18.416, fu scoperta solo nel 1636 dal matematico francese Pierre Fermat;
Eulero (1707-1783), il celebre matematico svizzero, con la compilazione di accurate tabelle, ne scoprì altre quattro;
nella metà del secolo XIX ne sono state individuate ancora una sessantina, ma la seconda coppia più piccola (1.184 e 1.210) fu identificata solo nel 1867 da un ragazzo di 16 anni , Niccolò Paganini, omonimo del celebre violinista. La coppia ritrovata dal ragazzo, il quale procedette semplicemente per tentativi, era sempre sfuggita all'attenzione di tutti i matematici.