Dipendenza delle caratteristiche elettriche dalla temperatura

 

 Dipendenza della concentrazione dei portatori dalla temperatura

Supponiamo di non avere alcun tipo di difetto o impurità, di avere cioè un semiconduttore intrinseco; in questo caso la densità totale d’elettroni in banda di conduzione si ottiene moltiplicando la finzione densità di stati, g(E), per la probabilità d’occupazione data dalla distribuzione di Fermi.

supponendo che la concentrazione d’elettroni non sia troppo elevata, rispetto agli stati disponibili, si può trascurare il principio d’esclusione di Pauli sostituendo la distribuzione di Fermi con quella più semplice di Boltzmann; si può, inoltre, approssimare g(E) con la densità di stati disponibili vicino al minimo della banda di conduzione, da cui risulta:

                      con                              (1.4)

e analogamente per le lacune:

                          con               (1.5)

                                      (condizione di neutralità)                (1.6)

Poiché un semiconduttore intrinseco è, all’equilibrio:

                                                              (1.7)

Si ottiene:

                                             (1.8)

Dove n è la concentrazione dei portatori intrinseci ed Eg è l’ampiezza della banda di energia proibita. Tenendo conto del fatto che 2kT a 300K è molto minore del gap di energia (2kT = 52mev) per qualsiasi tipo di semiconduttore, i semiconduttori intrinseci, sia a temperatura ambiente che a temperature criogeniche, si comportano come degli isolanti.

Ad ogni modo, come si vede dalla 4) e dalla 5), in un semiconduttore intrinseco la concentrazione dei portatori cresce esponenzialmente con la temperatura.

Prendiamo ora in considerazione i semiconduttori estrinseci.

I droganti introducono degli stati elettronici localizzati vicino alla banda di conduzione per i donori e a quella di valenza per gli accettori. Consideriamo il caso in cui siano presenti un livello donore  e uno accettore ; è questo il caso più interessante nella pratica, poiché è solo il livello shallow, la cui concentrazione è maggiore, a giocare il molo di drogante, ossia a fornire i portatori per la corrispondente banda, mentre gli altri livelli più profondi non intervengono, a meno che essi non compensino il livello drogante. Le popolazioni dei portatori nelle bande (n e p) e nei livelli donore e accettore ( e ) sono ottenute applicando la statistica di Fermi — Dirac:

                                                     (1.9)

                                               (1.10)

Per i donori e gli accettori, le cui concentrazioni sono rispettivamente  e, abbiamo analogamente:

                                            (1.11)

                                          (1.12)

Ove   e  sono i fattori di degenerazione per i donori e gli accettori; questi esprimono il numero di modi equivalenti di cui elettroni o le lacune dispongono per occupare un livello donore o accettore; un elettrone localizzato presso un atomo donore può essere, infatti, in una delle varie configurazioni quantiche corrispondenti ai diversi autostati da singolo elettrone dell’atomo donore. Si noti che questo non significa che vi siano , elettroni disponibili a lasciare il donore dando luogo ad uno ione multiplo; se il donore ammette uno ione semplice, vi è un solo elettrone disponibile per ogni atomo donore. Per ottenere n, p, , e  necessario risolvere un sistema di 5 equazioni poiché le concentrazioni sono espresse in termini di un’altra quantità non nota che è il livello di Fermi, . La quinta relazione è quella che esprime la neutralità della carica (valida per sistemi omogenei privi di zone di carica spaziale):

            n +  - p -  =  -                                      (1.13)   

La soluzione di questo sistema ad una data temperatura non è semplice e va ottenuta numericamente; tuttavia è possibile fare delle approssimazioni in determinati range di temperatura che ci consentono di ottenere delle soluzioni più semplici. Consideriamo un semiconduttore di tipo n (>), con un solo livello donore ed un solo livello accettore, entrambi non degeneri (in questo caso si ha:  = 2, = 2); in queste condizioni il sistema da risolvere diventa il seguente:

                                              (1.14)

                                             (1.15)

                                       (1.16)

                                        (1.17)

            n +  - p -  =  -                 (1.18)

Cerchiamo ora la soluzione per differenti range di temperatura:

            i)         Soluzione a 0°K

            n = p ==0                                       (1.19)

            = -                                     (1.20)

                                               (1.21)

Le lacune del livello accettore sono compensate dagli elettroni provvisti dai donori e solo  -  elettroni rimangono nel livello donore.

            ii)        Soluzione a bassa temperatura:

Quando la temperatura cresce, il livello di Fermi rimane vicino al livello donore e si possono ancora trascurare p e ; eliminando E dalla 14) e dalla 16) si ottiene:

                                       (1.22)

Eliminando  tra la 22) e la (1.18) si ottiene:

                                 (1.23)

Questa espressione può essere ulteriormente semplificata quando:

a)      la temperatura è sufficientemente bassa cosi che:

             e   in tal caso si ottiene:

                                            (1.24)

 b) la temperatura è tale che << n e : questo accade quando la concentrazione del drogante è grande se comparata alla concentrazione dei difetti di compensazione (); in tal caso si ricava:

                                       (1.25)

iii)              Soluzione a temperatura intermedia (regione estrinseca):

Quando kT diventa dell’ordine di , tutti i donori e gli accettori sono ionizzati: in queste condizioni la concentrazione dei portatori maggioritari è circa uguale alla concentrazione delle impurità ionizzate e si mantiene costante con la temperatura:
Poiché vale ancora:

                                                        (1.26)

e la 16) diventa:

                                          (1.27)

Si ottiene:

                               (1.28)

                                   (1.29)

In particolare, se il semiconduttore è di tipo n e , si ottiene

                                                   (1.30)

                                                 (1.31)

            iv)       Soluzione ad alta temperatura (regione intrinseca)

Al crescere della temperatura tutte le impurità vengono ionizzate ma, nel frattempo, aumenta la concentrazione intrinseca ed il semiconduttore entra nella regione omonima, in cui :

                                              (1.32)

Da cui:

                                            (1.33)

Le quantità  e  possono essere ricavate piuttosto accuratamente:
tuttavia la valutazione di  e di  separatamente è molto meno accurata e si ottiene con il fit di n(T) dalla (23).

Figura 1.15. Arrhenius plot della concentrazione dei portatori in un semiconduttore parzialmente compensato. Le pendenze delle linee indicate danno le energie di attivazione associate.

Di solito la concentrazione  è scelta in modo che a temperatura ambiente il semiconduttore sia effettivamente drogato, ossia sia grande rispetto alla concentrazione intrinseca .

Per questa ragione si cerca di estendere l’intervallo di temperatura corrispondente e di avere una situazione simile a quella mostrata in fig. 1.16 relativa a un campione di semiconduttore estrinseco con un solo livello donore shallow.

Figura 1.16. Concentrazione degli elettroni in funzione della temperatura relativa

 a un campione di Si con una concentrazione di donatori di

Riassumendo il comportamento della concentrazione dei portatori al crescere della temperatura possiamo dire che per temperature basse si assiste al fenomeno del congelamento della cariche, “freezeout”, in cui l’energia termica non è sufficiente a ionizzare tutti i donori presenti, e la densità dei portatori di carica è minore della concentrazione dei droganti. Pertanto, a bassa temperatura le impurità sono neutre (o, come si dice, congelate) e le concentrazioni di elettroni e lacune tendono a crescere secondo la (1.24) e poi secondo la (1.25), mentre il livello di Fermi tende a portarsi in prossimità della banda di conduzione o di valenza a seconda che si tratti di

semiconduttore di tipo n o p, rispettivamente.

A temperature superiori alla zona di congelamento le impurità sono quasi interamente ionizzate e la concentrazione dei portatori maggioritari è circa uguale alla concentrazione delle impurità ionizzate 31).

Al crescere della temperatura tutte le impurità vengono ionizzate, e per la concentrazione dei portatori vale la (1.33).

La larghezza della regione intrinseca dipende dalla concentrazione dei droganti mentre la temperatura che porta al freezeout è fortemente dipendente dall’energia di ionizzazione delle sostanze droganti.

Per temperature elevate il livello di Fermi coincide con il livello intrinseco ed il semiconduttore estrinseco degenera in uno intrinseco, mentre, a basse temperature e per i semiconduttori fortemente drogati, può entrare nella banda di conduzione, comportando in tal caso caratteristiche elettroniche di tipo metallico (semiconduttori degeneri).
L’ampiezza della gap proibita per il fosfuro d’indio è, come già detto, pari a 1.344 eV a 300K e dipende dalla temperatura secondo:

con T espresso in Kelvin.

La fig. 1.17 mostra la dipendenza dalla temperatura della concentrazione dei portatori intrinseci per l’InP, mentre in figura 1.18 si riporta la variazione del livello di Fermi con la temperatura per differenti concentrazioni di accettori e donori.

Figura 1.18. dipendenza dalla temperatura della concentrazione dei portatori Intrinseci per l’InP.

Figura 1.19: andamento del livello di Fermi rispetto alla temperatura

 per differenti concentrazioni di accettori e donori superficiali nell’InP.

e energie di ionizzazione per i donori shallow per il fosfuro d’indio (S, Si, Sn, Ge) sono tutte pari a circa 0.0057 eV mentre di seguito riportiamo le energie di ionizzazione per gli accettori, espresse in eV:

 Dipendenza della mobilità dalla temperatura

Vediamo ora i meccanismi che regolano la variazione della mobilità con la temperatura in un semiconduttore estrinseco. Come già detto, applicando al semiconduttore un campo elettrico di bassa intensità, elettroni e lacune subiscono un moto di deriva con velocità media proporzionale al campo elettrico attraverso il coefficiente di mobilità [85Sze].

Essa dipende dalle caratteristiche fisiche del semiconduttore tramite il tempo di rilassamento della quantità di moto, legato al tempo medio che intercorre fra urti successivi di un portatore di carica e quindi al libero cammino medio di quest’ultimo. Si è visto, nelle pagine precedenti, che appunto, la mobilità dei portatori è proporzionale a tale tempo di rilassamento.

Consideriamo ad esempio gli elettroni; in precedenza avevamo ottenuto la seguente:

                                                             (1.34)

In presenza di più fenomeni d’urto indipendenti e detti  i tempi di rilassamento per la quantità di moto degli elettroni relativi ai fenomeni presi separatamente è possibile scrivere:

 

                                       (1.35)

In presenza di più fenomeni d’urto indipendenti e detti  i tempi di rilassamento per la quantità di moto degli elettroni relativi ai fenomeni presi separatamente è possibile scrivere:

                                   (1.36)

tenendo presente la (1.28), si ottiene la cosiddetta regola di Mathiassen: la mobilità  totale degli elettroni o lacune, in presenza di più cause di urto non interagenti, ciascuna delle quali porterebbe, presa singolarmente, ad una mobilità , vale:

In tabella 1.2 riportiamo un sommario dettagliato della dipendenza dalla temperatura e dalla massa di  e di  per tutti i tipi di meccanismi d’urto individuabili in un semiconduttore: