RISP. 46 - Cominciamo
con lo studiare dapprima la funzione
, detta di proporzionalità inversa (perché all’aumentare di x,
y diminuisce. Per esempio: la velocità è inversamente
proporzionale al tempo
;
il tempo di riempimento di una vasca è inversamente proporzionale
alla portata del tubo d’acqua, ecc. )
STUDIO
DEL DOMINIO: Trattandosi di una funzione razionale fratta, per
determinare il dominio basta porre il denominatore diverso da
zero:
, quindi
SEGNO:
Il segno della funzione serve per scoprire quali rami sono
situati sopra l’asse delle x e quali si trovano sotto. Ponendo y
> 0 e risolvendo la disequazione fratta
, si scopre che essendo a > 0 per ipotesi, si avrà
y > 0 solo per x > 0 
LIMITI
E ASINTOTI: studiamo il comportamento della funzione negli estremi
del dominio:
per x → 0+ ,
per x → 0-
,
per x → - ∞
,
per x → +∞
per scoprire eventuali asintoti della curva:
|
|
|
Si deduce che la retta x = 0 è un asintoto
verticale per la curva.
|
|
|
|
La retta y = 0 è un asintoto orizzontale per
la curva
|
| Possiamo
già intuire l’andamento della curva nei pressi degli
asintoti, nel nostro caso nei pressi degli assi cartesiani. |
|
STUDIO
DELLA DERIVATA PRIMA:
Attraverso lo studio della derivata prima è possibile scoprire
se la curva possiede punti di massimo o di minimo e dove è crescente o
decrescente. Ricordando la regola di derivazione di una funzione
razionale,
, nel
nostro caso possiamo scrivere:
;
;
®
mai
verificata, perché è sempre
(non possiede punti di
massimo e di minimo)
®
siccome
a > 0 e
x2 > 0
si deduce che la disequazione non è mai
STUDIO
DELLA DERIVATA SECONDA:
Attraverso lo studio della derivata seconda, è possibile
sapere se la curva è dotata di flessi (punti in cui cambia la
concavità) e dove la funzione rivolge la concavità verso l’alto
oppure verso il basso:
;
;
;
mai
verificata, perché è sempre
, la curva non possiede punti di flesso
;
tenuto
conto che a > 0, occorre che
, cioè
per
x > 0
la curva rivolge la
|
