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Quando si fa tendere x a infinito anche le potenze xh
tendono a infinito, tanto più rapidamente quanto più grande è
l'esponente h, pertanto per eliminare l'indeterminazione conviene
raccogliere in evidenza, sia a numeratore che a denominatore, la
potenza di grado massimo:
Si
possono presentare 3 casi, a seconda che n <
m, n = m, n > m.
Se n < m il numeratore cresce a infinito meno rapidamente del
denominatore (ha un ordine di infinito minore), per cui non fa a
tempo a divenire infinito che è già diventato infinito prima
di lui il denominatore; perciò si avrà, alla fine, come risultato
del limite un numero fratto infinito, quindi 0 = a0 / ∞.
Se n > m il numeratore cresce a infinito più rapidamente del
denominatore (ha un ordine di infinito maggiore), per cui diventa
infinito prima di lui; perciò si avrà, alla fine, infinito fratto
un numero, quindi ∞ = ∞ / b0 .
Se n = m, l'indeterminazione ∞/∞ si toglie semplificando le potenze
di grado massimo messe in evidenza e, visto che le scritture del
tipo an / xn tendono a zero per x che tende a
infinito, alla fine rimane come risultato a0 /b0,
cioè il rapporto dei coefficienti di grado massimo.
Esempi:
1) 
poiché il numeratore ha un ordine di infinito minore del
denominatore, l'infinito resta giù a denominatore, quindi alla fine
si avrà un numero su
infinito, cioè 0 = 2 / -∞
2)
poiché
il numeratore ha un ordine di infinito maggiore del denominatore,
l'infinito resta su a numeratore, quindi alla fine si avrà
infinito su un numero, cioè +∞ /-5 =
-∞
3)
poiché
il numeratore ha lo stesso ordine di infinito del denominatore, il limite esiste finito ed è uguale al rapporto dei
coefficienti di grado massimo -7/6
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