APPUNTI DI MECCANICA GENERALE

Questo breve sezione di meccanica generale, redatta in maniera semplice e chiara ci introduce alla resistenza dei materiali ed ad alcuni calcoli di base. Prima di iniziare sarà bene specificare che il contenuto, raccolto da diversi siti sulla rete, è a scopo puramente informativo e didattico.

---

INTRODUZIONE

Per semplicità adotteremo le unità di misura più comuni e consone ad un hobbista, e cioè :

• per le forze: il kg  (Kilogrammo)

• per le lunghezze: il m (metro) ed il mm (millimetro)

• per le superfici: i mmq ( millimetri quadrati)

Altre definizioni importanti sono:

• Baricentro (o centro di gravità) di un corpo: punto di applicazione della risultante dei pesi di tutti i punti materiali di cui si immagina  costituito un corpo. Il baricentro può essere anche riferito ad una figura piana, cioè ad una superficie. Se la superficie è simmetrica,  il baricentro coincide con il centro di figura. Ad esempio, il baricentro di un cerchio è il centro del cerchio stesso, e quello di un rettangolo coincide con l' intersezione dei due assi di simmetria, e così via.

• Momento di inerzia di un corpo: la somma dei prodotti delle masse elementari di cui si immagina costituito il corpo moltiplicati per il quadrato delle distanze dei rispettivi baricentri da un asse di riferimento. Spiego con un esempio: prendiamo un volano (una ruota più o meno pesante, che posta in rotazione con una fonte di energia esterna restituisce l'energia immagazzinata); a parità di massa, più questa è collocata lontano dal centro di rotazione, maggiore sarà il momento d' inerzia del volano stesso. Cioè potrà essere posto in rotazione con più difficoltà, ma riuscirà al contempo ad immagazzinare più energia. Oltre alle ruote, anche le figure piane hanno un loro momento d'inerzia: ad esempio, a parità di superficie un cerchio avrà un momento d' inerzia più piccolo rispetto ad un quadrato, od un rettangolo, od una figura a forma di "H". Il momento d' inerzia di una figura piana è una grandezza di quarto ordine (cioè è espressa in mm alla quarta potenza) in quanto si ricava moltiplicando una superficie (grandezza di secondo ordine) per una distanza al quadrato (anch' essa quindi di secondo ordine), il che fa per l' appunto una grandezza di quarto ordine. i momenti d' inerzia, che in meccanica  sono chiamati con la lettera "J", si trovano già calcolati nei prontuari.

 

• elasticità. E' la proprietà di un corpo di riprendere la forma primitiva appena cessata l' azione che lo ha deformato.

• limite di elesticità E' il limite oltre il quale un corpo assoggettato  ad una forza esterna subisce deformazioni permanenti.

Prendiamo ad esempio un tondino di ferro e proviamo a sollecitarlo a trazione applicandogli una forza via via crescente e diretta secondo il suo asse.
Il tondino al crescere del carico applicato si deformerà (allungandosi) sino al limite di elasticità del materiale. Se il carico continua a crescere, il tondino si allungherà ancora di più, oltrepassando il limite di elasticità. Saremo nella fase di snervamento del materiale, ed ormai la sua resistenza è già compromessa. Se aumentassimo ancora il carico, il tondino subirebbe un forte allungamento, sino a quando una sua certa sezione si restringerà fortemente e subito dopo avverrà la rottura del materiale. Se chiamiamo "P" il carico in kg applicato a trazione, ed "S" la superficie in mmq della sezione del tondino, il carico unitario "R" applicato sara:

R = P / S espresso in kg/mmq.

Si possono definire più carichi unitari, a seconda la fase della prova di cui sopra. Per essere precisi :

• carico al limite di elasticità è il carico in kg/mmq oltre il quale si avranno deformazioni permanenti. Si indica con la lettera greca "sigma" unita alla lettera "e" minuscola, se ( si legge "sigma con e").

• carico di rottura è il minimo carico in kg/mmq necessario a rompere il materiale del tondino.

• carico di sicurezza è il massimo carico in kg/mmq che il materiale può sopportare in tutta sicurezza. É il carico più importante, la scelta del quale richiede un particolare studio. É evidente che il carico di sicurezza sarà sempre inferiore al carico al limite di elasticità. 

 

IL CARICO DI SICUREZZA

E' questo dato che si utilizza nei progetti o nelle verifiche strutturali, ed è quindi importante definirlo con accuratezza. Di ogni materiale praticamente utilizzabile si conosce esattamente il carico di rottura del materiale stesso, perchè il produttore lo rende noto e lo certifica, oppure perchè sono state effettuate delle misurazioni ufficiali in proposito.

Non è altrettanto semplice ed attendibile ricavare da prove strumentali il carico al limite di elasticità, che potrebbe essere considerato già lui stesso un indice del carico di sicurezza. Per questo motivo si è ritenuto opportuno definire il carico di sicurezza come una quota parte del carico di rottura, da ricavarsi dallo stesso tramite un indice di riduzione, chiamato "grado di sicurezza".

Iil grado di sicurezza di una certa struttura dovrà essere diverso in funzione dell' impiego previsto e del tipo di carico. Per esempio la sicurezza "intrinseca" delle funi di sollevamento di un ascensore dovrà essere certamente superiore a quello di una tettoia per un pollaio o ancora un organo di macchina soggetto a sforzi di direzione alterna, (la biella in un motore a scoppio) dovrà essere calcolato con un margine superiore rispetto ad una struttura statica, la quale non è soggetta a carici dinamici.

Se indichiamo con "m" il grado di sicurezza da applicare nei vari casi, dividendo il carico di rottura del materiale per il grado di sicurezza stesso si otterrà per l' appunto il carico di sicurezza da utilizzare nei calcoli:

   k = R / m

Il carico di sicurezza k di un materiale è il rapporto tra il carico di rottura del materiale stesso R diviso il grado di sicurezza m. Il grado di sicurezza è anche conosciuto come "coefficiente di sicurezza" oppure "grado di stabilità".

Che valore deve avere "m"? Da 3 a 20 e più, a seconda dei vari casi. Facciamo qualche esempio :

MATERIALE	m
materiali ferrosi laminati	3 - 4
materiali ferrosi fusi	6 -  8
legnami vari	8 - 10
laterizi e pietre	12 - 20
calcestruzzi	6 – 15

Questi sono valori medi, validi per carichi statici. Se il carico applicato varia rapidamente tra lo zero ed un massimo, i valori di cui sopra devono essere aumentati di circa il doppio. Se il carico  invece varia tra un minimo ed un massimo di segno opposto (cioè la forza applicata in una certa direzione si inverte di segno (pensate allo stelo di uno stantuffo a doppio effetto, che alternativamente è sollecitato a trazione e compressione), devono essere aumentati del triplo.

Ulteriori aumenti vanno portati in funzione della temperatura di lavoro, di possibili urti, vibrazioni ecc. Aggiungo inoltre che certi particolari materiali, come la ghisa, il legno, le pietre, il calcestruzzo, il vetro, ecc., hanno comportamenti ben diversi se sottoposti a carichi di trazione piuttosto che di compressione. Su molti manuali, perciò, anziché i valori del grado di sicurezza di ciascun materiale, sono riportati direttamente i valori dei carichi di sicurezza in forma separata per trazione e compressione, ed in genere applicabili per sollecitazioni statiche.

LE SOLLECITAZIONI

Le sollecitazioni possono essere di tipo semplice o composto. Le sollecitazioni semplici sono :

• trazione

• compressione

• taglio

• flessione

• torsione

Lo scopo del calcolo  strutturale è quello, per ognuna di queste singole sollecitazioni, di verificare una specifica "equazione di stabilità". Essendo 5 il numero delle sollecitazioni, 5 dovrebbe essere anche il numero delle equazioni di stabilità (cioè una per ogni singola sollecitazione). Gli sforzi di trazione e compressione però obbediscono entrambi ad un' unica legge, e quindi le equazioni di stabilità per le sollecitazioni semplici si riducono al numero di 4. Le sollecitazioni composte sono invece la risultante di 2 o più di quelle precedenti, e cioè:

• tensoflessione

• pressoflessioneflessione/taglio

• flesso torsione

• flessione/taglio con l' aggiunta di sforzi assiali (piuttosto comune in edilizia)

• ecc. ecc.

Le sollecitazioni composte nella pratica applicazione sono meno significative di quelle semplici, però il loro studio è notevolmente più complicato, in quanto il relativo calcolo fà riferimento ad equazioni matematiche di terzo grado.

 

TRAZIONE E COMPRESSIONE

Una sollecitazione di trazione si ha quando la forza (o la risultante di queste) applicata ad un corpo coincide con l' asse geometrico dello stesso e tende ad allungarne le fibre. Per la compressione è lo stesso, salvo che tende a comprimerne le fibre.

Il fatto che sia espressamente specificato che la forza deve coincidere con l' asse è molto importante. Se così non fosse, ci troveremmo in presenza di una sollecitazione composta, perché in tal caso alla trazione/compressione semplice si aggiungerebbe un momento flettente (la forza applicata moltiplicato la distanza tra l' asse di applicazione della forza e quello geometrico).

In meccanica, i corpi che devono essere calcolati si suppongono omogenei ed aventi ugual resistenza in ogni direzione, (cioè isotropi). Con queste debite precisazioni, si può supporre quindi che lo sforzo applicato si distribuisca uniformemente su tutta la sezione perpendicolare alla direzione di sforzo. Se "P" è il carico applicato in kg, "S" la superficie normale in mmq sulla quale è distribuito lo sforzo, il carico unitario "R" in kg/mmq al quale è assoggettato il corpo sarà ovviamente:

R = P / S

Affinché il corpo possa resistere con tutta sicurezza, è necessario che tale carico unitario sia minore, od almeno uguale, a "k", cioè al carico di sicurezza del materiale. L' equazione di stabilità a trazione (o compressione) quindi risulta:

(P / S)  ≤ k

I calcoli sulla resistenza dei materiali sono di due tipi:

• calcoli di progetto

• calcoli di verifica

I calcoli di progetto hanno lo scopo di determinare le dimensioni che un corpo deve avere perché resista in tutta sicurezza ad una data sollecitazione. Sapendo il valore della sollecitazione (carico applicato), con l' equazione di cui sopra è facile determinare la superficie resistente, dopo ovviamente aver fissato il valore di k. Avremo quindi:

S =  P / k

I calcoli di verifica, invece, hanno lo scopo di assicurare che un corpo di date dimensioni e sottoposto ad una certa sollecitazione, possa resistere in tutta sicurezza. Se indichiamo con la lettera greca s "sigma" la sollecitazione unitaria alla quale è soggetto il corpo sotto un certo carico, e sapendo che tale sollecitazione deve essere minore od al massimo uguale al carico di sicurezza k, avremo che dovrà essere:

s = P / S ≤ k

Esempio di calcolo di progetto:

Determinare il diametro di una barra circolare in ferro omogeneo che deve sopportare un carico a trazione di 2.000 kg. La formula applicabile è:

S =  P / k

quindi avremo:

P = 2.000 kg

k = 10 kg/mmq. Questo valore lo ricaviamo dividendo il carico di rottura del ferro (circa 40 kg/mmq) per il grado di sicurezza (circa 4), e quindi sarà 10 Kg/mmq.

Risolvendo, si avrà una S = 2000 / 10 = 200 mmq, pari ad un diametro di 16 mm.

 

Esempio di calcolo di verifica:

Verificare la resistenza di una barra di ferro quadro di 30 mm di lato, sottoposta ad uno sforzo di compressione di 7.500 kg. La formula applicabile è:

s = P / S ≤ k

P = 7.500 kg

S = 900 mmq (30 x 30 mm = 900 mmq), e quindi si troverà che sigma è:

s = 8.3 kg/mmq (7.500 / 900 = 8,3 kg/mmq) valore inferiore a k (10 kg/mmq). La barra resisterà quindi in tutta sicurezza.

Influenza della temperatura

I corpi, all'aumentare della temperatura, aumentano di volume e quindi si allungano nelle tre dimensioni. Nella  maggioranza dei casi di calcolo strutturale questo problema può considerarsi trascurabile. Ma se la struttura è particolarmente sviluppata in una dimensione, e soprattutto vincolata ai suoi estremi (cioè non libera di dilatarsi), è necessario fare una verifica al calcolo di progetto.

Facciamo un esempio: un tirante posto sotto una volta ad arco di un capannone (la cosiddetta "catena", che  ha il compito di contrastare la spinta verso l' esterno dovuta al carico della copertura) sottoposto ad una trazione di 8.500 kg, necessita, secondo i calcoli, di una superficie resistente di 850 mmq, che corrisponde ad un diametro del tirante stesso di 33 mm.

Se la temperatura scende, il ferro del tirante, che è vincolato alla struttura muraria del capannone e quindi non è libero di contrarsi, per effetto della diminuzione della temperatura che tende ad accorciarne le fibre, subirà un aumento della tensione interna, cioè un carico di trazione supplementare che si aggiungerà a quello già stabilito in sede di progetto.

Questo carico aggiuntivo dipenderà dal Dt (delta t) ambientale che supponiamo di 30°C. Vediamo come calcolarlo:

Pt = E x S x Dt x a

Pt = carico aggiuntivo in kg

E = 20.000 kg/mmq modulo di elasticità del ferro

S = superficie della sezione resistente in mm

Dt = 30°C differenza di temperatura

a = 0.000012 mm/°C coefficiente di dilatazione lineare del ferro

La formula vale solo se la temperatura diminuisce. Infatti ,se la temperatura aumenta, la dilatazione lineare del tirante indurrà un allungamento delle fibre del metallo sottoposto a trazione: cioè gli 8.500 kg di sollecitazione saranno in parte "scaricati" per effetto della temperatura, a favore della sicurezza.

Per calcolare la superficie della sezione resistente (calcolo di progetto) la formula, derivata dalla precedente, diventa:

S= P / (k - (E x Dt x a))

Influenza del peso proprio

Se l'organo soggetto a calcolo è piuttosto pesante, bisognerà tenerne conto, in quanto il suo peso potrebbe concorrere al carico sollecitante. Ad esempio, considerando una fune, all'estremità della quale è attaccato un carico, se la fune è molto lunga anche il suo peso, sommato al carico stesso, solleciterà a trazione la sezione resistente della fune medesima

L'equazione di stabilità alla trazione in tal caso diventa:

k = (P + Q) / S

dove Q è il peso della fune.

Sviluppando l'esempio precedente della fune con attaccato un carico, si potrà osservare che man mano che la fune diventa più lunga il carico ammissibile si riduce man mano sino al punto che non ci sarà possibilità di avere alcun carico applicabile, e se la fune diventasse ancora più lunga si romperebbe sotto l' azione del suo stesso peso. La lunghezza che corrisponde alla rottura prende il nome di "lunghezza di rottura", ed è un dato caratteristico di ogni materiale.

Questa unità di misura, cioe la "lunghezza di rottura", è molto usata per valutare la resistenza delle forme sottili, come quella per l' appunto di funi e fili in genere. Ad esempio, i filati di cotone hanno una  lunghezza di rottura che può variare tra gli 8 ed i 16 Km, secondo la qualità di origine del cotone stesso.

 

IL CARICO DI PUNTA

Facciamo subito un'esempio: se prendiamo un bastoncino sottile appoggiato con una estremità a terra ed esercitiamo una certa forza nello spingerlo lungo l'asse (una compressione) ad un certo punto il bastoncino si fletterà, e se continuiamo a spingere, si romperà. Se invece ne tagliamo un pezzettino di lunghezza piccola, e ripetiamo l'operazione precedente applicando la stessa forza, il bastoncino resisterà tranquillamente.

Se ne deduce che esisterà una lunghezza critica in rapporto al diametro del bastoncino, al di sopra della quale il bastoncino "perde" la sua capacità di resistere a compressione sotto l' azione di una certa forza.

Quando il rapporto tra la lunghezza del corpo e la minima dimensione della sezione trasversale supera un certo limite, si manifesta un' inflessione laterale che conduce a rottura. Il carico che i solidi caricati di punta possono sopportare in sicurezza è solamente una parte di quello a compressione semplice, e si chiama "carico critico".

 

La lunghezza libera d' inflessione

Ci sono quattro condizioni tipiche di vincolo, alle quali il matematico Eulero ha trovato che corrispondono quattro carichi critici, in quanto la deformazione che assume il corpo sotto carico è come se modificasse la lunghezza geometrica del corpo in funzione delle condizioni di vincolo. Nella sua formula di calcolo del carico critico bisogna tener conto della lunghezza libera di inflessione, e non della lunghezza geometrica del corpo. In ordine crescente di resistenza, i 4 casi possibili sono :

• 1° caso: solido incastrato ad un estremo e libero all' altro. La lunghezza libera d'inflessione vale 2 volte la lunghezza geometrica.

• 2° caso: solido articolato ai due estremi. La lunghezza libera d'inflessione è pari alla lunghezza geometrica.

• 3° caso: solido incastrato ad un estremo ed articolato all'altro. La lunghezza libera d'inflessione vale 2/3 (due terzi) della lunghezza geometrica.

• 4° caso: solido incastrato a tutti e due gli estremi. La lunghezza libera d' inflessione è pari alla metà della lunghezza geometrica.

Ordinariamente in meccanica si incontrano più frequentemente il primo ed il secondo caso. Il terzo si incontra più raramente, ed ancor meno il quarto.

La formula di Eulero.

Eulero, capito che il carico dipendeva tra le varie cose dalla lunghezza libera d' inflessione, arrivò così a determinare il minimo carico critico per il quale ha inizio l'inflessione laterale in ognuno dei quattro casi. Quindi il carico P che il solido può sopportare con tutta sicurezza sarà una frazione del carico critico di Eulero.

La formula diventa quindi:

P = C x 2.5 x (E x J min.)/(n x L²)

P = carico di punta ammissibile

C = coefficiente che vale: 1 per il primo caso, 4 per il secondo, 8 per il terzo, 16 per il quarto

E = coefficiente di elasticità del materiale

J min = minimo momento d' inerzia della sezione resistente

n = coefficiente di sicurezza che vale 5 per il ferro, 8 per la ghisa, e 10 per il legno.

L = lunghezza geometrica del corpo

I tecnici scoprirono ben presto che la sua formula non valeva per tutti i casi di carico di punta, ma era applicabile solamente per i corpi più snelli.

 

Limiti per i quali è possibile calcolare il carico con la FORMULA DI EULERO

- per la sezione quadrata e rettangolare:

L inf / b > 30 per il ferro; > di 23 per la ghisa; > di 29 per il legno

nella quale "L inf" è la lunghezza libera d' inflessione, e "b" è il lato del quadrato o quello più corto del rettangolo.

 

- per la sezione circolare piena:

L inf / D > 26 per il ferro; > di 20 per la ghisa; > di 25 per il legno

nella quale "D" è il diametro della sezione.

 

- per la sezione a corona circolare:

L inf / √(d² + D²) > 30 per il ferro; > di 23 per la ghisa; > di 29 per il legno
              

Limiti per i quali è possibile calcolare il carico a COMPRESSIONE SEMPLICE:

- per la sezione quadrata e rettangolare:

L inf / b < 21 per il ferro; < di 10 per la ghisa; < di 13 per il legno

- per la sezione circolare piena:

L inf / D < 18 per il ferro; < di 8 per la ghisa; < di 11 per il legno

- per la la sezione a corona circolare:

L inf / √(d² + D²) < 18 per il ferro; < di 8 per la ghisa; < di 11 per il legno

LA SOLLECITAZIONE DI TAGLIO

Può sembrare strano sentire parlare di "taglio" riferendosi a strutture metalliche, oppure in legno o calcestruzzo che siano, ma in effetti non vi è differenza concettuale tra queste ed un semplice foglio di carta "tagliato" con un paio di forbici. In entrambi i casi, una forza trasversale ad una sezione del corpo tenderà a recidere il materiale in due parti, tramite uno scorrimento lungo la superficie di separazione.

Per questo motivo, nell' equazione di stabilità alla sollecitazione di taglio, il carico di sicurezza del materiale k deve essere un pò ridotto, e diventa k', pari a 4/5 (quattro quinti) di k. Perciò le equazioni di stabilità alla sollecitazione di taglio diventano:

- per i calcoli di progetto:

 k' = T / S

k' = a 4/5 del carico di sicurezza k del materiale

T = forza di taglio applicata al corpo

S =superficie trasversale del corpo resistente

 

- per i calcoli di verifica:

s = (T / S) ≤ k'

Facciamo un esempio:

Si vuole tagliare una lamiera di ferro (carico di rottura "R" di 40 kg/mmq), dello spessore di 5 mm e lunga 1 metro. Se la lama è orizzontale, lo sforzo di taglio, applicando la formula di stabilità di cui sopra, è:

T = R' x S

R' = 4/5 di R, cioè 32 kg/mmq

S = 5 x 1.000 = 5.000 mmq

T = 32 x 5.000 = 160.000 kg

La corsa della lama sarà uguale allo spessore del materiale, cioè 5 mm.

 

Se per caso la lama che deve effettuare il taglio è inclinata, dovrà fare una corsa molto superiore a 5 mm per tagliare l'intera lamiera. Mettiamo che siano 100 mm. Quale sarà lo sforzo di taglio in questo caso?

Iin entrambi i casi, si sarà fatta la medesima quantità di lavoro (cioè il taglio della lamiera). Il lavoro non è altro che il prodotto di una forza per uno spostamento. Nel primo caso la forza è 160.000 Kg con uno spostamento 5 mm. Nel secondo lo spostamento è di 100 mm. perciò, per l' eguaglianza dei lavori ci sarà:

160.000 x 5 = 800.000 kgmm (lavoro di taglio con lama diritta)

800.000 / 100 = 8.000 kg (sforzo di taglio con lama inclinata)

Nel secondo caso la lama farà molta più corsa ma basterà meno forza per tagliare la lamiera

 

TOP    INDIETRO