teoremi

TEOREMA 1: Un’isometria è completamente individuata da tre coppie di punti corrispondenti ( i punti A,B,C non devono essere allineati e i triangoli ABC e A’B’C’ devono essere congruenti ).
Trattandosi di un'isometria, il corrispondente P' di un generico punto P diverso da A, B, C si otterrà intersecando le tre circonferenze di centri A', B', C' con raggi congruenti rispettivamente ad AP, BP, CP. Al lettore dimostrare che tale punto di intersezione esiste ed è unico.
TEOREMA 2: Un’isometria si può ottenere componendo al più tre simmetrie assiali.
Prese tre coppie di punti corrispondenti nell'isometria (A;A'), (B;B'), (C;C'), occorre sovrapporre il triangolo ABC al triangolo A'B'C' con tre simmetrie assiali (fig. 1), Osservato che i due triangoli in questione sono congruenti, si procede come segue: Si costruisce il simmetrico di ABC rispetto all'asse s₁ del segmento AA', così facendo A si sovrapporrà ad A', mentre B e C andranno rispettivamente in B₁ e C₁. Dopo tale trasformazione il triangolo ABC sarà trasformato nel triangolo A'B₁C₁. (fig. 2). Si costruisce il simmetrico di B₁A'C₁rispetto all'asse s₂ di B₁B', in questo modo B₁ si sovrapporrà a B' e A' resterà unito (essendo il triangolo B'A'B₁ isoscele su B'B₁ l'asse della base passa per il vertice opposto A', la dimostrazione è lasciata al lettore), il vertice C₁ andrà in C₂. dopo tale trasformazione il triangolo A'B₁C₁ sarà trasformato nel triangolo A'B'C₂ (fig. 3). Si costruisce il simmetrico del triangolo A'B'C₂ rispetto alla retta s₃ per A' e B': A' e B' resteranno uniti mentre C₂ si sovrapporrà a C' perché è facile dimostrare che s₃ è asse di C'C₂. Al termine di tale operazione il triangolo A'B'C2 sarà sovrapposto al triangolo A'B'C' c,v,d, (fig. 4)

fig. 1	fig. 2	fig. 3	fig. 4