Gravi in un fluido

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Indicati con: m la massa, a l'accelerazione del corpo, g l'accelerazione di gravità, s la spinta di Archimede, k il coefficiente di attrito
(con		essendo eta coefficiente che dipende dal fluido e dalle caratteristiche della superficie della sfera)

per la prima legge della dinamica possiamo scrivere:
cioè

separando le variabili dell’equazione differenziale otteniamo:

pertanto

passando agli esponenziali

cioè

(*)

cost2 si può ricavare imponendo che al tempo 0 la velocità sia nulla:

pertanto la (*) diventa

da cui:

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La formula che dà la velocità evidenzia chiaramente che, se il tempo che tede all'infinito, la velocità diventa costante: ciò si esprime dicendo che il moto è asintoticamente uniforme.

per tempi lunghi la velocità di discesa dipende certamente dalla massa, trascurando la spinta avremo velocità doppia con massa doppia.

Come Galileo ha verificato le sue ipotesi? Le sfere lasciate cadere dalla torre di Pisa sono un'invenzione?

Se il tempo tende a 0 il moto può essere approssimato con un moto uniformemente accelerato. Infatti sviluppando in serie di Taylor    

si ha
pertanto trascurando l'infinitesimo

 
Anche il moto uniformemente accelerato dipende dalla massa ma questa dipendenza può essere resa trascurabile se si rende "piccolo"  il rapporto s/m.

ma

pertanto per rendere trascurabile l'incidenza del fluido nella parte iniziale del moto occorre prendere corpi con elevata densità e fluidi con bassa densità; ad esempio si possono far scendere sfere con lo stesso raggio di piombo (d=11.340 kg/m_cubo) e di ferro (d=7.860 kg/m_cubo) nell'aria (d=1.272 kg/m_cubo).

Ci chiediamo ora: meglio usare raggi piccoli o raggi grandi? Raggi grandi perché in questo modo aumentando le masse dei due corpi  si rende maggiore il tempo in cui la caduta è assimilabile ad un moto uniformemente accelerato (masse maggiori comportano una crescita più lenta della velocità in quanto il rapporto k/m che compare nell'esponenziale, essendo proporzionale a 1/r², diminuisce ).

Accludiamo per finire la formula che dà lo spazio percorso in funzione del tempo (basta integrare la velocità rispetto al tempo), e un programma di simulazione con cui potrai verificare quanto osservato.