INTERPOLAZIONE POLINOMIALE
Si consideri l' insieme di coppie
( x1, y1) ( x2, y2) ( x3, y3) ... ( xn, yn)
Si tratta di trovare un polinomio, di grado prefissato, che passi il più vicino
possibile a tutti quei punti.
Risolveremo il problema senza ricorrere direttamente al calcolo differenziale,
ma estendendo ad Rn proprietà del tutto intuitive nel piano o nello spazio.
Si tratta di un modo di procedere analogico, che si giustifica per la sua
immediatezza e per la sua efficacia euristica; in appendice verrà comunque
riportata la dimostrazione di quelle proprietà.
Siano X=(x1,x2,x3... xn)
Y=(y1,y2,y3... yn)
Sia E un insieme di Rn . Cerchiamo un vettore Y°=(y1°,y2°,y3°...yn°) appartenente
a E il più vicino possibile a Y.
E qui sarà un sottospazio e, poiché faremo i disegni nel piano, lo raffigureremo
come una retta per l' origine. E' opportuno forse rammentare che questo piano
rappresenta Rn , non il piano su cui giacciono i punti ( xi, yi).
Y° è dato dal piede della perpendicolare calata da Y sul sottospazio E
La condizione di minima distanza si tradurrà quindi in una condizione di
perpendicolarità, ovvero di prodotto interno nullo fra opportuni vettori.
Deve essere ( Y-Y°) * V=0 per ogni generatore V di E
(Per n=2 E è proprio la retta rossa e V e un qualsiasi suo vettore)
Consideriamo anzitutto l' interpolazione lineare.In tal caso E è generato da X
e da U=(1,1,1...1), dovendo essere Y°=mX+qU
Per semplicità supponiamo q=0 ( è come chiedere che E sia generato dal solo X)
Allora la condizione di perpendicolarità diventa
X*Y=mX*X
e quindi
m=X*Y/|| X ||2
Ora estendiamo le considerazioni precedenti a polinomi di grado r.
La generica componente di Y0 è del tipo:
y0j= | |||||
Poniamo X[i] =(x1i,x2i,x3i... xni). Allora lo spazio E dovrà essere quello generato da X[0] , X[1] , X[2] ... X[r] (nel caso lineare c' erano solo i primi due vettori, indicati con X e U )
Ora Y-Y° deve essere perpendicolare a ciascuno dei generatori; si ottiene così un sistema di r+1 equazioni in altrettante incognite, che fornisce i coefficienti del polinomio approssimante: ( Y-Y°) * X[i]=0 Analiticamente ( i=0,1,2...r) : Si può risolvere il sistema con Excel |
ESERCIZIO Qual è il polinomio interpolatore di grado nullo?
ESERCIZIO Prova che y-yb=(X*Y/|| X ||2)(x-xb) è la retta interpolatrice:
(xb,yb) è il baricentro dei dati.
ESERCIZIO Verifica che il metodo esposto, quando Y appartiene a E, fornisce
Y stesso. (Ne daremo una dimostrazione formale in appendice;
qui, per coerenza con l' impostazione intuitiva del discorso, basta
convincersene geometricamente, visualizzando E come retta o
piano, oppure, numericamente, usando il programma in Excel
PROBLEMA Esamina cosa succede se si scambiano i ruoli di X e Y.
Rimane ora da esaminare il grado di approssimazione, definendo un indice che
misuri quanto la curva teorica si scosta da quella empirica;il che, nel caso
lineare, significa misurare il grado di allineamento dei dati
(continua)