PREMESSA

Perché  nel linguaggio comune usiamo il termine “ matematico” come sinonimo di necessariamente vero? Ci viene in mente di rispondere che in matematica le affermazioni (a parte un numero limitato)  non si ricavano dalle esperienze non si asseriscono per fede ma si dimostrano.

 “CHE COSA VUOL DIRE DIMOSTRARE ?”

“Su quali principi si basa o meglio si giustifica questa attività ?”
Nella cultura matematica scolastica difficilmente ci poniamo questa domanda:
Quasi sempre l’attenzione è concentrata sull’apprendimento delle dimostrazioni, senza che si esplicitino i principi su cui esse si fondano.
In questo contesto vorremmo stimolare gli studenti a trovare una risposta alla nostra domanda e in particolare a rendere espliciti alcuni “meccanismi”che ci permettono di affermare un enunciato B come corretta conseguenza di un enunciato A.

CONTESTUALIZZAZIONE

Propongo di affrontare l’argomento in un triennio di Liceo scientifico o  classico.

PREREQUISITI

Conoscenza di:
Linguaggio naturale e linguaggio simbolico.
Connettivi e quantificatori.
Valori di verità legati alle proposizioni

OBBIETTIVI GENERALI
-Saper ridurre il linguaggio naturale al linguaggio formale
-Analizzare la correttezza di un ragionamento in un dato contesto
-Riconoscere e usare propriamente locuzioni della lingua italiana con valenza logica (“se….allora”, “per ogni”, “esiste almeno un…” )
-Produrre congetture e sostenerle con ragionamenti coerenti e pertinenti
-Confrontare le proprie congetture con quelle prodotte da altri

OBBIETTIVI SPECIFICI

-Costruire la negazione di una frase
-Saper riconoscere l’ipotesi e la tesi di un enunciato T
-Saper riconoscere la differenza tra “implicazione” (AuB)e equivalenza (AgB) di due “affermazioni”
-Saper ricavare da una generica implicazione (AuB) la sua contronominale e capirne il valore
-Saper schematizzare un procedimento dimostrativo in particolare il “procedimento per assurdo” evidenziando la regola logica usata
-Saper applicare ad un nuovo problema uno schema di ragionamento dato, esempio:il ragionamento per assurdo

Ci interessa sottolineare che in questo contesto ci limiteremo a chiarire la forma di questi processi e non il problema della loro validità

SVILUPPO DEI CONTENUTI

Il gioco delle carte

Abbiamo davanti a noi un mazzo di carte. Queste carte portano una lettera su un lato e una cifra sull’altro.
La regola con la quale le carte sono state contrassegnate è la seguente:
Quando su un lato c’è una vocale, sul rovescio ci deve essere un numero pari

Traduciamo:
AuB
Oppure
Se A allora B

Dove
A: sul dorso della carta c’è una vocale
B. sul rovescio c’è un numero pari

Esercizio 1
Estraggo dal mazzo una ad una le carte sempre girate dalla parte della lettera
Domando allo studente:
quali carte dobbiamo girare per verificare che vale la regola?

Esercizio 2
Estraggo dal mazzo ad una ad una le carte sempre girate dalla parte della cifra
Quali carte dobbiamo girare per verificare che vale la regola?

Esercizio 3
Ora supponiamo di trovarci di fronte le seguenti quattro carte di quello stesso mazzo

La domanda posta è sempre la stessa

Risposte:
1)	giro solo le carte contrassegnate da una vocale
2)	giro solo le carte contrassegnate da un dispari
3)	giro le carte E e 7

Obbiettivi del gioco

-	Far tradurre allo studente una “regola” enunciata nel linguaggio naturale nella stessa “regola” enunciata in un linguaggio matematico
-	Osservare che A è un enunciato che “parla”dell’insieme delle lettere dell’alfabeto e B un enunciato che “parla” delle cifre che rappresentano i numeri naturali.Sia l’insieme A che l’insieme B hanno delle proprietà che nel caso non sono state esplicitate ma che sono implicitamente condivise da tutti (se acA allora “a è vocale” oppure “ a è consonante”   se bc B allora “b è pari oppure è dispari”) 
-	Con l’esercizio 1 vogliamo puntualizzare che un’affermazione del tipo AuB nulla ci dice a proposito di ×A (motivo per cui è inutile girare le carte contrassegnate da consonante)
Dobbiamo arrivare a concordare, anche attraverso altri esempi che AuB  non è affatto equivalente a ×Au×B, errore in cui molti studenti cadono
Esempio: Molte volte ci è capitato di sentire che poiché se F è derivabile allora è continua dunque se F non è derivabile allora non è continua
-	Nell’esercizio 2 abbiamo di fronte elementi dell’insieme B. Da qui l’esigenza di trovare una regola equivalente a quella data che “interessi”però gli elementi di B.
Costruiamo così il passaggio alla contronominale:
Una proposizione AuB è equivalente alla sua contronominale ×Bu×A
(ecco il motivo per cui dobbiamo girare le carte contrassegnate da una cifra dispari)
-Dopo i primi due esercizi l’errore in cui si potrebbe ancora cadere nell’esercizio 3 è quello di pensare che bisognerebbe girare la carta E e anche la 4. Alcuni studenti infatti potrebbero aver dedotto, perché spesso si verifica una certa inclinazione a farlo, numero pariu vocale

Ci auguriamo che questo gioco sia servito a tener viva l’attenzione della classe e nello stesso tempo a far scoprir loro alcune giuste strategie o anche eventuali errori di ragionamento

Adesso possiamo chiedere alla classe

CHE COS’E’ UNA DIMOSTRAZIONE?

Ci sembra appropriato convenire su una definizione intuitiva di dimostrazione

Una dimostrazione consiste in una catena di argomenti che si conclude con una affermazione a cui si vuole dare, mediante il discorso che la precede uno status di certezza pari a quello di altre affermazioni già stabilite, tale discorso si compone di proposizioni logicamente connesse che hanno lo scopo di pervenire all’affermazione finale

Le proposizioni che fanno parte della catena sono:
o appartengono ad un insieme di frasi inizialmente ammesse: prendono il nome di assiomi
o sono già state ricavate con un procedimento analogo a quello che si sta descrivendo(cioè sono conclusione di dimostrazioni precedenti)
o è il risultato della “trasformazione” di frasi precedenti nella dimostrazione, in base a processi che hanno la caratteristica di trasmettere al nuovo “prodotto” l’eventuale verità del materiale di costruzione: questi processi si fondano sulle cosiddette “regole logiche”

La dimostrazione nella storia

Il concetto di dimostrazione sembra abbia avuto la sua origine in Grecia
In Grecia la dimostrazione nasce in un  contesto sociale e culturale in cui si attribuisce grande importanza alla discussione: l’attenzione al linguaggio parlato, all’argomentazione, accompagna gli affari economici e le scelte politiche della città.In matematica fioriscono vere e proprie attività dimostrative, assenti, per esempio,nella matematica egizia e babilonese.
Con la nascita della dimostrazione la matematica si trasforma,da un insieme di nozioni,regole e tecniche utili per risolvere problemi pratici, a una disciplina fortemente caratterizzata dalla preoccupazione di giustificare quelle nozioni, quelle regole, quelle tecniche, di riflettere su di esse e sulle loro conseguenze, indipendentemente dalla possibilità di applicarle.
Le fonti greche sono concordi nel considerare Talete (Mileto, 625-547 a. C.) il fondatore della matematica greca e nell’attribuirgli varie dimostrazioni. Va detto che le dimostrazioni attribuite a Talete sono tutte relative a fatti geometrici immediati, la funzione di dimostrazione non è ancora quella di convincere della verità di un asserto di per sé non evidente
Una delle prime testimonianze dirette di dimostrazione si trova in un dialogo di Platone, il Menone, scritto nel quarto secolo a.C..In questo dialogo Socrate mostra a Menone come uno schiavo illetterato possa,se opportunamente guidato, giungere a costruire una dimostrazione di un risultato matematico e, cioè che dato un quadrato ABCD ,il quadrato costruito sulla diagonale AC è il doppio di ABCD.

Circa un secolo dopo i dialoghi platonici Euclide riassume le principali ricerche e conoscenze dei matematici che lo avevano preceduto completandole in un opera sistematica gli Elementi , punto di riferimento necessario per avviarsi allo studio della geometria.
Gli Elementi di Euclide sono il primo e per molti secoli insuperato esempio di sistema assiomatico deduttivo , ossia di una teoria fondata su un insieme di proposizioni di partenza (assiomi o postulati) a partire dalle quali, mediante dimostrazioni,si ricavano altre proposizioni dette teoremi

Come nasce una dimostrazione

In principio non c’è mai la dimostrazione ma la scoperta matematica. In un secondo momento nasce la dimostrazione come “legittima difesa” della scoperta intuitiva. Infatti un matematico comincia a risolvere un problema dapprima in maniera vaga e intuitiva e solo quando ha l’impressione di averlo risolto “ in linea di principio”si mette a scrivere una dimostrazione rigorosa.
Il grande matematico Paul Halmos ha formulato questo principio nel suo libro

“ La matematica non nasce mai in modo deduttivo. Anzi, il matematico prima indovina sempre vagamente, cerca di farsi un idea figurata di un concetto molto generale, e salta da una conclusione infondata all’altra. Sposta le sue idee in continuazione, e comincia a convincersi delle loro validità molto prima di essere in grado di formulare una dimostrazione formale”

Metodi di dimostrazione

Dimostrazione diretta (non costruttiva)

Fornisce il risultato direttamente, benché a volte con qualche deviazione
Es:
Teorema
In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana

Dimostrazione diretta (costruttiva)

Una dimostrazione è tale quando fornisce l’oggetto di cui vuole dimostrare l’esistenza
Es:
Teorema di Bolzano-Weierstrass:
Ogni insieme EÌR limitato e infinito ha almeno un punto di accumulazione
(si vanno costruire 2 insiemi A e B con certe caratteristiche e si pone z =sup A = inf B punto di accumulazione per l’insieme, dopo di che dimostriamo che effettivamente lo è

In geometria spesso si sente dire: “dimostrazione per costruzione” che non ha esattamente lo stesso significato di “dimostrazione costruttiva”. Ma al contrario significa: “ facciamo uso di una costruzione geometrica” fatta sulla figura di partenza per dimostrare la tesi del teorema
Es:
Teorema
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza
(Per la dimostrazione si consiglia di prolungare AC dalla parte di C di un segmento CP@CB )

Dimostrazioni di equivalenza

Una tale dimostrazione verifica solo l’equivalenza di due o più enunciati indipendentemente dalla loro verità
Es:
a)	Esiste una mappa continua f:[-1,1]→ [-1,1] senza punti fissi
b)	Esiste una mappa continua g: [-1,1] →{-1,1}con g(-1) =1 e g(1)=1

Dimostrazione per induzione matematica
Un risultato che concerne i numeri naturali diventa un metodo dimostrativo di uso generale  e frequente
Es: Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri naturali (associativa o commutativa per la somma)
 Es: Date due rette su un piano, esse lo dividono in regioni che possono essere colorate con due soli colori in modo tale che due qualunque regioni confinanti abbiano colore diverso

Dimostrazione per distinzione di casi

Es:   Se  a è un numero reale diverso da zero allora a2> 0

Dimostrazione mediante controesempio

Sappiamo che la dimostrazione di un enunciato nella forma “ per ogni..” tramite esempio non è ammissibile. D’altra parte fornire un controesempio (esempio che non soddisfa la proposizione enunciata) è il metodo più elegante per falsificare una congettura sbagliata
Es: “ogni funzione continua è anche differenziabile” può essere falsificata tramite il controesempio
F(x)=|x| su [-1,1]
Cosa deduco?

Dimostrazioni senza parole

La dimostrazione per assurdo

Nella dimostrazione per assurdo, dovendo dimostrare che una certa tesi T è vera, si assume invece che sia vera l’antitesi, cioè il contrario della tesi. Di qui si deduce una serie di conseguenze contraddittorie o errate. E poiché queste conseguenze sono errate, ne risulta che sono errate le premesse a partire dalle quali sono ricavate, in particolare l’antitesi.

Lo schema di ragionamento è sostanzialmente ancora quello del cosiddetto modus tollens: il quale - ricordiamo - è una forma di sillogismo, cosiddetto ipotetico. Cioè, tanto per intenderci, un sillogismo del tipo: “Se Giulia è felice, allora sorride. / Giulia non sorride / Dunque Giulia non è felice”. Lo schema generale del modus tollens è il seguente:

pt q
¬q
---------
¬p

dove il segno à è il simbolo logico di implicazione (se… allora…) e il segno ¬ è il simbolo logico di negazione. Una proposizione come ptq è dunque una proposizione ipotetica, perciò il modus tollens è un sillogismo ipotetico.
Possiamo leggere lo schema del modus tollens in questi termini: “Se la proposizione p è vera, allora è vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q è falsa. Allora è falsa la proposizione p.”
Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dell’antecedente p.

Nel ragionamento per assurdo dall’antitesi ¬T si sviluppa una conseguenza ¬H che è in contraddizione con un’ipotesi ritenuta vera o con un’altra conseguenza ottenuta da ¬T introducendo un’ipotesi ritenuta vera. Ma H è vera. Dunque è falsa l’antitesi che comporta ¬H. Ecco lo schema del modus tollens adattato alla dimostrazione per assurdo: 
¬T ® ¬H
H 
---------
T

Anche in questo caso la negazione del conseguente comporta la negazione dell’antecedente.

Dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2
Ma vediamo un caso concreto, la dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2 (o, anche, dell’incommensurabilità della diagonale di un quadrato con il suo lato, ed è precisamente in questi termini che Aristotele ci presenta la dimostrazione per assurdo). Presentiamo subito lo schema del ragionamento, che commenteremo subito dopo.

1                                                             T  Å  ¬T  (principio del terzo escluso)	
2	T : Ö2 ¹ m/n	¬T : Ö2 = m/n m2 = 2n2	
3	 	Q :  m è dispari	¬Q :  m è pari	
4	 	H :  Allora m2 è dispari e non contiene il fattore 2.	H : Allora m2 è pari e contiene il fattore 2 un numero pari di volte.	
5	 	¬H : Poiché m2 = 2n2,  m2 è pari (contiene il fattore 2).	¬H : Poiché m2 = 2n2,  m2 contiene il fattore 2 un numero dispari di volte (se n è pari) o una sola volta (se n è dispari).	
 6	 	×	×	

Sviluppiamo il ragionamento di dimostrazione passo passo, in base allo schema riportato qui sopra, dove ogni passo del ragionamento è numerato progressivamente, da 1 a 6: il passo 1 corrisponde alla fascia verdolina in alto, il passo 2 corrisponde alla fascia cilestrina sottostante ecc. Ecco dunque il ragionamento:
1.      Una proposizione P o è vera o è falsa, per il principio del terzo escluso. In logica si scrive:
P Å ¬P
dove il simbolo Å significa “oppure” e il simbolo ¬ significa, anche in questo caso, “non”. Dunque al passo 1 del nostro ragionamento affermiamo: “La proposizione P è vera, oppure P non è vera”. Questo è un principio generale, e vale anche per la tesi T che intendiamo dimostrare:  T Å ¬ T.
2.      A questo punto affermiamo la nostra tesi T: affermiamo cioè che Ö2 è un numero irrazionale. In altre parole, siano m e n sono due numeri interi e positivi. Sarà allora:
Ö2 ¹ m/n
Questa relazione significa che non è possibile esprimere Ö2 come rapporto di due interi. In questo senso si dice, appunto, che Ö2 non è razionale 
Poiché però non siamo capaci di dimostrare la nostra tesi T con un’argomentazione diretta, concediamo che sia vera la tesi opposta ¬T (antitesi), che cioè Ö2 sia un numero razionale. Ci proponiamo di verificare che l’affermazione dell’antitesi comporta logicamente una conseguenza, o un insieme di conseguenze, in contraddizione con il resto delle nostre conoscenze (con ipotesi che sono accettate come vere). Dunque abbandoniamo (per il momento) la tesi T e spostiamoci nello schema qui sopra a destra della linea spessa verticale, nel ramo dell’antitesi ¬T. Cioè, sia Ö2 = m/n e, conseguentemente, sia 2 = m2/n2.
3.      Il terzo passo del nostro ragionamento fa nuovamente ricorso al principio del terzo escluso. Perciò nello schema tracciamo una seconda linea verticale (in tratto più sottile). Infatti, possiamo ipotizzare che m sia dispari, o che sia pari. Chiamiamo queste due ipotesi, rispettivamente, Q e ¬Q. Ammettiamo che Q sia vera (m è dispari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione (nello schema, a sinistra della linea verticale sottile). Lo stesso faremo in seguito per ¬Q.
4.      Dunque, se m è dispari, anche m2 sarà dispari. Questa proposizione (chiamiamola H) è conseguenza di quanto si è affermato al passo 3, applicando la ben nota proprietà dei numeri, per cui il quadrato di un numero dispari è anch’esso dispari.
5.      Abbiamo visto però, al passo 2, che 2 = m2/n2: dunque m2 = 2n2 e, quale che sia il valore di n, m2 risulta - in base al passo 2 - pari. Così affermiamo ¬H.
6.      Dunque le proposizioni 4. e 5. sono in contraddizione, e questo è precisamente ciò che significa il crocino (×) nell’ultima fascia cilestrina del nostro schema. In altre parole, se m è dispari, l’antitesi ¬T non è accettabile.
 Verifichiamo a questo punto se per caso l’antitesi possa esser vera quando m sia pari. Spostiamoci dunque a destra della linea verticale sottile, riprendendo il ragionamento dal livello 3 del nostro schema.
3¢.   Ammettiamo che ¬Q sia vera (m è pari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione.
 4¢.  Dalla 3¢ segue che m2 è pari, quindi è divisibile per due, una o più volte. In altre parole, scomponendo m2 in fattori, risulta che m2 contiene il fattore 2 un numero pari di volte (e anche questa è una proprietà dei numeri). Chiamiamo H questa conclusione.
5¢.   Abbiamo visto però, al passo 2¢, che 2 = m2/n2: dunque m2 = 2n2, pertanto m2 contiene il fattore 2 un numero dispari di volte (se n è pari) o una sola volta (se n è dispari). Così neghiamo H.
6¢.   Dunque le proposizioni 4¢ e 5¢ sono in contraddizione. In altre parole, l’antitesi ¬T non è accettabile, neanche se m è pari.
Abbiamo dimostrato che l’antitesi ¬T non è sostenibile in nessun caso, dunque la tesi T è vera.

Una dimostrazione geometrica
Breve digressione sul quinto postulato di Euclide
Il quinto postulato è stato oggetto di dimostrazione, a partire dai primi quattro postulati di Euclide (sempre con il procedimento di riduzione all’assurdo). Ecco il quinto postulato: 
In un piano, per un punto fuori di una retta si può condurre una e una sola parallela a una retta data.
 Osserviamo che due rette sono parallele, quando - prolungate indefinitamente - non s’incontrano mai: dunque il quinto postulato adombra in qualche modo la nozione di infinito. Per questo fu sempre ritenuto problematico. Notevole, in particolare, il contributo del gesuita Giovanni Gerolamo Saccheri, il quale pubblica nel 1733 il suo Euclides ab omni naevo vindicatus (che sarebbe come dire “Euclide rivisitato e ripulito di ogni neo”), dove il quinto postulato è dimostrato per assurdo.In realtà si tratta di una forma particolare di dimostrazione per assurdo: assumendo per ipotesi che la proposizione che si vuole dimostrare sia falsa si giunge alla conclusione che è vera La sua dimostrazione, che pure - a detta dei matematici odierni - presenta anch’essa qualche “neo”, è fondamentale nella storia della matematica perché prelude alla fondazione delle geometrie non euclidee.
Prima di lui Posidonio aveva creduto di dimostrare il quinto postulato, dimostrando una proposizione ad esso equivalente:
Postulato dell’obliqua:Una perpendicolare e un’obliqua a una stessa retta si incontrano dalla parte in cui l’obliqua forma un angolo acuto con la retta 
Anche in questo caso la dimostrazione è fatta per assurdo e appare rigorosa dopo una prima lettura, tuttavia in essa a un certo punto viene adoperata un’ipotesi non lecita in quanto non rientra nelle conseguenze dei primi quattro assiomi.( si definiscono parallele due rette equidistanti e per far questo occorre essere certi che il luogo dei punti di un piano equidistanti da una retta è ancora una retta
Proclo più tardi riformulò il quinto postulato nel modo seguente
Due rette parallele a una terza sono parallele fra loro.
Questa proposizione è stata considerata un equivalente del quinto postulato di Euclide, ma non lo è. È invece una conseguenza del postulato, perché può essere dimostrata a partire da esso, mediante un procedimento - appunto - di ragionamento per assurdo. Eccolo:
T  Å  ¬T	
T :  Due rette parallele a una terza sono parallele fra loro.	¬T :  Due rette parallele a una terza non sono parallele fra loro.	
 	¬H  (segue da ¬T) Siano le rette a, b parallele a c, ma non parallele fra loro. Allora a e b s’incontrano in un punto P, esterno alla retta c. Dunque per P passano due rette distinte, a e b, parallele a c.	
 	H (segue dal quinto postulato di Euclide): Per P può passare una e una sola parallela per c.	
 	×	
Dunque, poiché l’accettazione dell’antitesi comporta una contraddizione, è vera la tesi T: due rette parallele a una terza sono parallele fra loro.
Il paradosso di Achille e della tartaruga
Che cosa affermava Zenone? Ecco il suo argomento, basato sul procedimento per riduzione all’assurdo: 
Ammettiamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga, che i due contendenti partano nel medesimo istante, e che la tartaruga goda di un vantaggio di 100 m. Ora, mentre Achille guadagna 100 m che lo separavano inizialmente dalla tartaruga, questa si sarà portata avanti di 10 m. Per raggiungere la tartaruga Achille dovrà colmare questa nuova distanza: ma nel tempo a ciò necessario, la tartaruga sarà avanzata di 1 m. E quando Achille avrà superato questo metro, la tartaruga sarà avanzata di 0,1 m. E così via: avverrà così che Achille per quanto rincorra la tartaruga, non riuscirà mai a raggiungerla.
Bene, questo ragionamento da un punto di vista logico non fa una grinza. Ma arriva a una conclusione sbagliata, perché introduce un’ipotesi H (nel significato chiarito precedentemente) che è assunta come vera, ma che invece è falsa. Zenone ci obbliga a infilarci in un tunnel mentale, in un pregiudizio (soprattutto vi ha obbligato generazioni di filosofi ignari degli sviluppi della matematica dell’Ottocento, che doveva ancora venire). Qual è questo pregiudizio? Il ritenere che la somma di una successione di infiniti termini tenda anch’essa all’infinito. Sappiamo invece (oggi!) che ci sono le serie convergenti. 
Comunque, ecco il ragionamento di Zenone ricondotto nella forma canonica del ragionamento per assurdo:

T  Å  ¬T	
T :  Ammettiamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga, che i due contendenti partano nel medesimo istante, e che la tartaruga goda di un vantaggio di 100 m. Achille non raggiungerà mai la tartaruga.	¬T :  Ammettiamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga, che i due contendenti partano nel medesimo istante, e che la tartaruga goda di un vantaggio di 100 m. Achille raggiungerà la tartaruga in un certo istante e a una certa distanza dalla posizione iniziale della tartaruga.	
 	¬H :   Mentre Achille guadagna i 100 m che lo separano inizialmente dalla tartaruga, questa si sarà portata avanti di 10 m. Per raggiungere la tartaruga Achille dovrà colmare questa nuova distanza: ma nel tempo a ciò necessario, la tartaruga sarà avanzata di 1 m. E quando Achille avrà superato questo metro, la tartaruga sarà avanzata di 0,1 m. Dunque la distanza che separa il punto nel quale Achille raggiunge la tartaruga dalla posizione iniziale della tartaruga è divisibile all’infinito.	
 	H :   La somma di un numero infinito di distanze non può essere una distanza definita, perché non ha mai termine. Analogamente non avrà mai termine la somma dei tempi necessari a coprire queste infinite distanze.	
 	×	
Il ragionamento è fallace, anche se l’inferenza è corretta. Ma il punto è che si è assunta una premessa falsa. Se l’ipotesi H fosse vera, sarebbe vera la tesi T. 
E invece no: anzi, siamo in grado di dimostrare che è vera l’antitesi ¬T: Achille raggiungerà la tartaruga in un certo istante e a una certa distanza dalla posizione iniziale della tartaruga.
Infatti supposto che Achille disti un metro dalla tartaruga e corra a una velocità doppia, quando Achille avrà percorso un metro, la tartaruga sarà a 1/2 metro di distanza, e quando avrà coperto tale distanza, la tartaruga si troverà a ¼ di metro e così via.Ma la “somma” (la serie) di queste infinite distanze non è una distanza infinita ma semplicemente il segmento di lunghezza 2 metri.(1/(1-1/2)). Dopo aver percorso 2 metri Achille supera la tartaruga 
Pertanto è finita la distanza che Achille dovrà percorrere per raggiungere la tartaruga, e conseguentemente è finito il tempo che Achille impiega a raggiungere la tartaruga.

Gli infiniti primi

Quella che segue è la dimostrazione, per assurdo, che fornì Euclide circa la cardinalità infinita dell’insieme dei numeri primi. 

TÅ¬T	
T: esistono infiniti numeri primi	¬T: esistono p1, p2, …, pn numeri primi 	
	H: sia ph+1>ph e sia quindi pn il maggiore degli n primi  Q: allora il prodotto p1p2…pn è multiplo di ciascuno di essi e quindi divisibile per ciascuno di essi  S: (p1p2…pn)+1 è non divisibile per alcuno degli n numeri primi  ¬H: (p1p2…pn)+1>pn è un numero primo  x	

Esempio:
Teorema: L’insieme (0,1) dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non è biiettivo (cioè non può essere posto in corrispondenza biunivoca) con l’insieme N dei naturali

Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che f sia una funzione obiettiva da N a (0,1) (×T) .
La funzione f opera quindi nel modo seguente:

f(0) = 0, a00 a01 a02 ……..a0n ……..
f(1) = 0, a10 a11 a12 ……..a1n ……..
……………………………
f(n) = 0, an0 an1 an2 ……..ann ...........
..........................................

Per la supposta biiettività di f, ogni reale appartenente all’intervallo aperto(0,1) appare nell’elenco come immagine di uno e un solo naturale
Consideriamo allora un numero reale b= 0,b0b1…..bn…..
Tale che, per ogni i, bi sia una cifra diversa da 0, da 9 e da aii (cambio tutti gli elementi della diagonale) . Il numero reale b appartiene all’intervallo (0,1) e differisce da ogni f(n) almeno per la n-esima cifra decimale

Esempio
Dimostrazione a proposito della relazione tra angoli e lati di un triangolo

Teorema
Se un  triangolo ha due angoli disuguali ha pure disuguali i lati opposti e precisamente all’angolo maggiore sta opposto il lato maggiore
 
Dimostrazione:
Nel triangolo ABC sia l’angolo ABC maggiore dell’angolo ACB (ipotesi)
Dobbiamo dimostrare che il lato AC è maggiore del lato AB (tesi)
IL teorema si può appunto dimostrare per assurdo, negando la tesi.
Supponiamo ora che sia AC@AB: in tal caso il triangolo ABC, che risulterebbe isoscele, dovrebbe avere l’angolo ABC congruo all’angolo ACB, contro l’ipotesi.
Supponiamo ora che sia AC<AB : per il teorema inverso già dimostrato con una dimostrazione diretta,poiché a lato minore si oppone angolo minore dovrebbe essere angolo ABC minore di angolo ACB, contro l’ipotesi. Concluderemo così che non potendo essere né AC@AB, né AC<AB deve essere AC>AB

VERIFICA

Esercizio 1 

Date le seguenti proposizioni:
A = gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti
B = gli angoli alla base di un triangolo isoscele hanno per somma un angolo piatto
C = gli angoli alla base di un triangolo isoscele hanno per somma un angolo inferiore ad un angolo piatto

Eseguire le implicazioni 
AÞ B    AÞ C  e le rispettive contronominali e dire se le proposizioni ottenute sono vere o false

Esercizio 2

Date le proposizioni

P: quella ragazza è bella
Q: quella ragazza è ricca

Scrivere in simboli ciascuna delle seguenti frasi:
-quella ragazza è bella è ricca
-quella ragazza è bella ma non è ricca
-non è vero che quella ragazza sia brutta o ricca
-quella ragazza non è bella né ricca
-quella ragazza è bella, oppure è brutta e ricca

Esercizio 3

Schematizza come da esempi precedenti l’ultima dimostrazione geometrica che trovi tra gli esempi

Esercizio 4

Usando una la dimostrazione costruttiva suggerita dimostra che:

-Se in un triangolo rettangolo un angolo acuto è doppio dell’altro l’ipotenusa è doppia del cateto minore
(costruire un triangolo congruente al dato da parte opposta del cateto minore)

- In un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è metà della stessa ipotenusa (si prolunghi la mediana di un segmento uguale a se stessa…)

Esercizio 5

Dimostrare che ogni quadrilatero, nel quale la somma dei due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, è circoscrittibile ad una circonferenza
(si dovrà dimostrare che la circonferenza tangente a tre dei quattro lati del quadrilatero è tangente anche al quarto lato. Si proceda per assurdo e supponendo che ciò non accada, si conduca …)

Dimostrare che ogni quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza. (Si proceda per assurdo e si supponga che la circonferenza passante per tre vertici del quadrilatero non passi per il quarto . In tal caso….)