E' importante pensare a tali esempi perché non solo sono più facilmente studiabili e osservabili ma anche perché sono la testimonianza reale, fisica che la simmetria è insita anche nei più piccoli particolari della natura ed essendo sempre vere quelle leggi fisiche che danno tali forme alla natura, sarebbe come studiare l'universo stesso (basti pensare, ad esempio, che la forma spaziale atomica sia identica al sistema solare e la legge di Coulomb sulle attrazioni elettromagnetiche sia  identica nella sua forma alla legge di attrazione gravitazionale di Newton).

E come dice bene Elena Castellani nel suo intervento a riguardo, questi piccoli particolari possono dare riposte a domande molto più ampie. 

“La simmetria è la base per la nostra comprensione scientifica dell'universo. La cristallografia è lo studio delle simmetrie dei cristalli. Numerose forme naturali, dalle stelle di mare ai  fiocchi di neve, dai virus alle galassie, mostrano simmetrie stupefacenti. Gli oggetti artificiali sono sovente simmetrici: tubi cilindrici, piatti rotondi, scatole quadrate, palloni sferici, barre di acciaio esagonali.

Che cos'è esattamente la simmetria?
Nel linguaggio corrente, il termine ha due significati diversi. Il primo è vago e corrisponde all'eleganza delle proporzioni; il secondo, più preciso, si riferisce alla ripetizione di motivi in una forma. È questo secondo significato che interessa il matematico.

Il corpo umano ha (approssimativamente) simmetria bilaterale: non si può distinguere un individuo dalla sua immagine in uno specchio, perché la metà sinistra e destra del corpo sono sovrapponibili.
Una stella di mare con cinque bracci identici comprende cinque assi di simmetria. Un fiocco di neve possiede sei assi di simmetria, e un nido d'api infinito ha, oltre ai sei assi di simmetria di ciascuna celletta, un'infinità di invarianze per traslazione.

Allo scopo di definire esattamente l' essenza della simmetria, i matematici si interessano non tanto alla forma degli oggetti simmetrici, quanto alle trasformazioni che si possono far loro subire.
Supponiamo di presentare a una persona una stella di mare perfettamente simmetrica, posata su un tavolo; poi, mentre il soggetto guarda altrove, ruotiamo la stella di mare di un quinto di giro.
La persona interrogata non saprà decidere se la stella è stata ruotata o no, e il dubbio rimarrebbe anche se la rotazione fosse stata di due quinti, di tre quinti, di quattro quinti di giro, oppure se la stella di mare non si fosse mossa. Queste cinque trasformazioni lasciano la stella immutata e formano un insieme chiamato gruppo.

Nel nostro contesto, la parola "gruppo" non ha solo il significato di raggruppamento, vale a dire di insieme di trasformazioni. Essa si riferisce a proprietà matematiche delle trasformazioni.
Supponiamo di applicare in successione due trasformazioni del gruppo di simmetria della stella di mare: questa rimarrà ancora invariata, perché la combinazione di due trasformazioni del gruppo è ancora una trasformazione del gruppo. Questa proprietà è una delle più importanti della struttura di gruppo.

Quando si combina una rotazione di un quinto di giro con una rotazione di due quinti di giro, il risultato è identico a quello che si ottiene quando si effettua direttamente una rotazione di tre quinti di giro.
Considerando il giro come unità, si può scrivere: 1/5 +2/5 = 3/5. Questa particolare uguaglianza è ovvia, ma i gruppi riservano diverse sorprese matematiche. Immaginiamo una rotazione di tre quinti di giro seguita da una rotazione di due quinti di giro: la trasformazione combinata è identica a una rotazione di un giro completo. In altri termini: 3/5 + 2/5 = 0!

I gruppi di simmetria si complicano notevolmente quando si considerano oggetti in tre dimensioni. Esistono infatti 230 tipi diversi di gruppi di simmetria dei cristalli. Le trasformazioni più importanti sono le rotazioni che, nel piano, lasciano un punto invariante, vale a dire il centro di rotazione; le riflessioni corrispondono a riflessioni in uno specchio, e le traslazioni sono spostamenti in una direzione, senza che vi sia rotazione ne riflessione.

Per semplificare, non si usa parlare di trasformazione di simmetria, ma semplicemente di "simmetria" dell'oggetto. Nel gergo della teoria dei gruppi un quadrato presenta otto simmetrie: tre rotazioni (di uno, due o tre quarti di giro), quattro riflessioni (due diagonali, due mediane) e l'identità, che corrisponde a nessuna trasformazione.

Un quadrato non ha simmetrie di traslazione, contrariamente alla rete a maglie quadrate ricoprente tutto un piano, che possiede un'infinità di simmetrie di traslazione: uno scivolamento di un numero intero di righe o di colonne la lascia globalmente invariante.
Questo esempio può apparire eccessivamente semplice, ma corrisponde bene al modo in cui i fisici descrivono le simmetrie dei cristalli.”

Elena Castellani