Il sito di Steve Phelps suggerisce una dimostrazione del teorema di Pitagora basata su una suddivisione del quadrato
costruito sul cateto maggiore in quattro quadrilateri uguali.
Questi quadrilateri opportunamente sovrapposti al quadrato costruito sull'ipotenusa lasciano libero
esattamente lo spazio per il quadrato costruito sul cateto minore.
Costruzione con GeoGebra
Disegnare una semicirconferenza di diametro AB
Scegliere un punto C sulla semicirconferenza che sia più vicino ad A che a B.
Disegnare i segmenti che definiscono il triangolo rettangolo di ipotenusa AB e i rispettivi quadrati
Disegnare nel quadrato corrispondente al cateto maggiore il centro R
Dal centro R condurre la parallela al diametro AB ed anche la perpendicolare ad essa passante per R
Si trovino le intersezioni di queste due rette con i lati del quadrato di lato BC
Ecco trovati i quattro quadrilateri uguali con cui suddividere il quadrato di lato BC
Per "sperimentare" che i quattro quadrilateri e il quadrato di lato AC ricoprono perfettamente il quadrato costruito sull'ipotenusa
si può utilizzare una caratteristica importante di GeoGebra: la possibilità di definire un "poligono rigido"
che è possibile muovere o ruotare mantenendolo invariato.
Per definire il poligono rigido con il relativo strumento bisogna fare clic su ciascun vertice del poligono dopo di che esso potrà essere spostato o ruotato a piacimento.
Nella figura di sopra si vedono i quattro quadrilateri e il quadrato di lato b "rigidi"
che si possono spostare e ruotare per essere sovrapposti al quadrato costruito sull'ipotenusa.
Per ogni poligono rigido, vengono evidenziati due punti uno per spostare e uno per ruotare il poligono.
Dimostrazione
Indichiamo AC con b, AB con c e BC con a.
Osserviamo dalla figura che si viene a costituire il parallelogramma ABUS. Infatti SU è parallelo
ad AB per costruzione. Ed anche AS è parallelo a BU.
Ma allora SU è uguale ad AB. Dato che R è punto medio di SU, SR è uguale a c/2.
Inoltre CBFH è un rettangolo quindi HR è uguale ad a/2.
Gli angoli del triangolo SRH sono uguali a quelli del triangolo ABC e quindi i due triangoli sono simili.
Allora anche il cateto SH deve essere uguale a b/2.
Possiamo allora trovare SK=SH+HK=b/2+a/2=(a+b)/2,
ed anche SC= CK-SK=a-(a+b)/2=(a-b)/2.
Torniamo ad osservare i quattro quadrilateri che ricoprono il quadrato di lato a.
Abbiamo trovato le lunghezze dei lati di ciascun quadrilatero.
Ad esempio nel quadrilatero SRTK:
SR=RT=c/2
SK=(a+b)/2
KT=SC=(a-b)/2
I due lati uguali a c/2, vengono riportati lungo il bordo del quadrato di lato c.
Sottraendo dal lato più lungo del quadrilatero il lato più corto si ottiene proprio la lunghezza
b del lato AC, in modo che si possa inserire il relativo quadrato circondato dai quattro quadrilateri. Infatti:
(a+b)/2-(a-b)/2=b
In altre parole quando si dispongono i quattro quadrilateri dentro il quadrato di lato c, rimane esattamente il posto per il quadrato di lato b.
Alla fine osserviamo che gli angoli AH1F ed FH1L sono supplementari e quindi i quadrilateri si incastrano perfettamente l'uno con l'altro.
Infatti nel quadrilatero ad esempio SRTK la somma degli angoli interni è data da due angoli piatti.
Sottraendo i due retti con vertici in K ed R, gli altri due angoli interni sono supplementari.
