Nel seguito si farà uso della formula del momento di inerzia di una sbarretta omogenea sottile rettangolare di lunghezza L e massa M rispetto all’asse baricentrale giacente nel piano della barretta e perpendicolare alla lunghezza:
Momento di inerzia dell'ellisse rispetto l'asse x
Consideriamo una ellisse di semiassi a e b con centro nell'origine
Nel grafico si nota una striscia ABCD con AB corda dell'ellisse ad una distanza x dall'asse y e di lunghezza 2y.
BC e DA sono distanze che saranno fatte tendere a zero e che indichiamo con dx.
Può essere istruttivo provare ad eseguire il grafico con GeoGebra.
Alla striscia ABCD si può applicare la formula (1) precedentemente scritta.
L'area della superficie della striscia sarà 2y dx .
Definiamo la densità superficiale di massa come massa totale M diviso l'area della superficie dell'ellisse:
La massa associata alla striscia ABCD sarà:
In base alla formula (1), il momento di inerzia della striscia sarà:
Dall'equazione dell'ellisse ricaviamo y positiva:
Sostituendo nel dI:
Di questa ultima espressione bisogna calcolare l'integrale fra -a ed a.
Si può raccogliere a2 ed a:
Operiamo la sostituzione:
Raccogliamo i termini costanti=
I limiti dell'integrazione che erano -a ed a, per la variabile u diventano -1 e 1.
Operiamo una nuova sostituzione:
I limiti dell'integrazione diventano:
Essendo che il corrispondente di -1 sia π maggiore di zero che corrisponde a +1, l'integrale fra 0 e π cambia di segno.
Utilizziamo la formula di duplicazione per il coseno e si ottiene:
In sostanza si deve integrare la seguente espressione:
Applichiamo la formula di duplicazione del coseno:
Ora riflettiamo che sia l'integrale di cos(4t) fra 0 e π che l'integrale di cos(2t)fra 0 e π sono entrambi nulli.
Per convincersi basta guardare i grafici delle due funzioni ottenuti con GeoGebra riportati di seguito:
Infatti il periodo della funzione cos(2t) sarà ottenuto quando 2t raggiungerà il valore 2π sarà cioè π così si capisce che fra zero e π la somma delle aree positive equivale in valore assoluto a quelle negative.
Nel caso del cos(4t), il periodo sarà 2π/4 cioè π/2:
Il nostro integrale si riduce notevolmente:
Non dobbiamo dimenticare di moltiplicare per il valore della costante G:
Sostituendo la densità superficiale dell'ellisse (2) si ha:
Quindi il momento di inerzia di una ellisse rispetto l'asse x dipende solo dal semiasse b.
Momento di inerzia dell'ellisse rispetto l'asse
Consideriamo una ellisse di semiassi a e b con centro nell'origine
Nel grafico si nota una striscia ABCD con AB corda dell'ellisse ad una distanza y dall'asse x e di lunghezza 2x.
BC e DA sono distanze che saranno fatte tendere a zero e che indichiamo con dy.
Può essere istruttivo provare ad eseguire il grafico con GeoGebra.
Alla striscia ABCD si può applicare la formula (1) precedentemente scritta.
L'area della superficie della striscia sarà 2x dy .
La massa associata alla striscia ABCD sarà:
Calcoliamo il momento di inerzia riferito all'asse y:
Si procede come prima: dall'equazione dell'ellisse, si esplicita x e la si sostituisce nel dI:
I limiti dell'integrazione devono essere fra -b e +b
Operiamo la sostituzione:
I limiti dell'integrazione saranno:
La seconda sostituzione è,identica a quella operata prima e si procede nello stesso modo:
In conclusione il momento di inerzia rispetto l'asse y sarà:
Il momento di inerzia rispetto l'asse z è la somma dei momenti di inerzia rispetto x e rispetto y.
Basta osservare che se x è la distanza dell'areola dA dall'asse x e y analogamente dall'asse y, la
il quadrato della distanza dall'asse z (non disegnato in figura) sarà data da x2+y2
Il momento di inerzia di una ellisse rispetto un asse perpendicolare al piano dell'ellisse stessa e passante per il baricentro è dato da:
