Solido ottenuto con la rotazione della versiera di Agnesi attorno l'asse x
Per trovare il volume del solido ottenuto facendo ruotare la versiera di Agnesi attorno l'asse x, si deve risolvere prima il seguente integrale
ottenuto con la classica formula per i solidi di rotazione attorno l'asse x:
k numero positivo che successivamente dovra' tendere a piu' infinito.
Con la sostituzione:
si ha:
Per calcolare questo integrale operiamo prima una sostituzione e dopo utilizzeremo una ulteriore formula.
Calcoliamo la derivata tan(u) e il differenziale di t:
Scriviamo l'integrale indefinito con queste sostituzioni:
Questa espressione si puo' semplificare con:
ed otteniamo
Per abbassare di grado utilizziamo la formula di duplicazione:
cioe':
Otteniamo:
e quindi:
Trovata la primitiva per calcolare l'integrale definito dobbiamo calcolare la primitiva agli estremi di integrazione.
Ricordando che:
La variabile u variera' fra zero e
Seno di zero e' zero, quindi in sostanza bisogna scrivere:
Adesso bisogna far tendere k a piu' infinito: l'arcotangente tendera' a π/2:
Semplificando si ottiene π/4.
Tenendo conto che fra zero e piu' infinito si tratta di meta' del volume di tutto il solido avremo:
Il volme del soido di rotazione ottenuto facendo ruotare attorno l'asse x la versiera di Agnesi e' finito !
Malgrado il fatto che essa si estenda da meno a piu' infinito.
