Esempio più semplice: baricentro di un semicerchio
Per trovare le coordinate del baricentro di una regione delimitata da due funzioni continue
f(x) e g(x) tali che nell'intervallo chiuso , si può scrivere:
A è l'area della regione di piano delimitata da f e da g:
Cerco di giustificare le due formule.
Si considera una regione omogenea in cui le aree sono proporzionali alle masse coinvolte. Quindi
moltiplicando (f(x)-g(x)) per dx, si ottiene l'area di un rettangolino di base dx e altezza (f(x)-g(x)) che è proporzionale alla massa posseduta da quella porzione di piano.
Considerando il caso di un insieme di particelle si ha:
Nel caso continuo si ha che l'integrale rappresenta la somma dei prodotti ascissa (dove si immagina concentrata la massa) per area rettangolino ovvero massa equivalente, diviso l'area totale ovvero la massa totale.
Per trovare l'ordinata la massa si può considerare concentrata nel punto medio dell'altezza del rettangolino di ordinata data da:
e si può ripetere quanto detto per l'ascissa:
l'integrale calcola la somma dei prodotti delle ordinate per le aree dei rettangolini. Dividendo il tutto per l'area totale, si ottiene l'ordinata del baricentro.
Per illustrare le due formule che forniscono le coordinate del baricentro possiamo osservare
il segunte grafico:
Due parabole si incontrano nei punti A e B. Le equazioni delle parabole sono:
Le coordinate dei punti di incontro sono:
Il segmento AC rappresenta la x. IL segmento PR rappresenta (f(x)-g(x))
mentre PQ rappresenta il dx che dovrà successivamente tendere a zero.
L'area del rettangolino PQSR rappresenta il prodotto (f(x)-g(x)) dx.
L'ordinata del punto T è uguale a:
Moltiplicando questa ordinata per l'area del rettangolino PQSR, si giustifica la formula per trovare la y del baricentro scritta all'inizio.
Per la rappresentazione con GeoGebra, basta definire un cursore (slider) di nome k che rappresenterà l'ascissa corrente e un altro cursore per indicare dx ovvero una piccola variazione di x.
Ciò posto per definire il punto P si indica k come ascissa e g(k) come ordinata.
Il punto Q avrà ascissa data da k+dx e ordinata uguale a quella di P.
Nello stesso modo prendendo in considerazione l'altra funzione f(x), si definiscono i punti R ed S.
Dopo aver individuato i punti PQSR, si può definire il poligono (rettangolo) con questi vertici.
Variando il valore di k si muoverà anche il rettangolino.
Introducendo la traccia per il segmento PR, si potrà "colorare" l'area compresa fra le due parabole.
Calcolo integrale con il CAS di GeoGebra
Per il calcolo delle coordinate del baricentro, bisogna calcolare tre integrali non difficili ma laboriosi.
Utilizziamo il Computer Algebra System che utilizza il calcolo simbolico non approssimato.
Scrivendo:
Integrale(x*(f(x)-g(x)), 2, 38/5)
nella vista CAS di GeoGebra otteniamo: 10976/125.
Scrivendo:
Integrale((f(x)-g(x)), 2, 38/5)
otteniamo l'area compresa fra le due funzioni f(x) e g(x) che risulta: 1372/75.
Il rapporto fra queste due frazioni è l'ascissa del baricentro della regione di piano compresa fra le due funzioni:24/5
Per trovare l'ordinata scriviamo:
Integrale( (f(x)+g(x))/2*(f(x)-g(x)), 2, 38/5)
ed otteniamo 383474/9375.
Dividendo quest'ultima frazione per l'area compresa fra le due funzioni, otteniamo l'ordinata del baricentro 559/250.
Si può così definire il punto F che corrisponde al baricentro:
trovare il baricentro della regione di piano delimitata dalle due parabole.
Le due funzioni precedentemente scritte vanno inserite nella riga di comando di GeoGebra.
Come nell'esempio precedente si può utilizzare l'ambiente per il calcolo simbolico di GeoGebra chiamato Computer Algebra System CAS.
Intanto conviene calcolare l'area compressa fra f(x) e g(x) considerando che le due funzioni erano state già inserite nella riga di comando di GeoGebra:
Integrale((f(x) - g(x)), 1, 4)
che risulta 21/4.
Per trovare l'ascissa del baricentro, scriviamo l'espressione:
x*(f(x) - g(x))
e dopo ne calcoliamo l'integrale definito fra 1 e 4, ottenendo come risultato 105/8.
Il rapporto fra questa frazione e l'area trovata prima calcola l'ascissa del baricentro come 5/2.
Analogamente per calcolare l'ordinata del baricentro, scriviamo prima l'espressione:
(f(x)+g(x))/2*(f(x) - g(x))
e dopo ne calcoliamo l'integrale definito fra 1 e 4, ottenendo come risultato 273/16.
Il rapporto fra questa frazione e l'area trovata prima calcola l'ascissa del baricentro come 13/4.
Una volta note le coordinate del baricentro, esso può essere segnato nel grafico. Vedi il punto B nella figura precedente.
Baricentro di un semicerchio
Ho provato ad applicare le formule per il baricentro al caso della semicerchio con centro l'origine e raggio 3,
in questo caso f è l'equazione della semicirconferenza mentre g è data da y=0.
Per ragioni di simmetria l'ascissa del baricentro sarà zero.
L'area della regione di piano è l'area del cerchio diviso due: (9/2π)
Calcoliamo l'ordinata del baricentro ricordando che bisogna dividere per l'area del semicerchio:
il risultato sarà 4/π.
In generale l'ordinata del baricentro di un semicerchio di raggio R e con il diametro di base sull'asse x, sarà: 4R/3π.
del baricentro di una regione delimitata da due funzioni continue
nell'intervallo chiuso 
, 
si può scrivere:
