Jhon Barrow

Nella vita sono poche le cose che possiamo dare per sicure. Espressioni come " non si sa mai", "mai dire mai", ecc... rendono forse il senso di come siano incerte le nostre conoscenze sul mondo che ci circonda.
Questo accade specialmente quando riteniamo che un qualcosa non possa accadere, che sia impossibile, e invece veniamo smentiti clamorosamente: della serie "la realtà  supera la fantasia".
Tuttavia, in questa incertezza, spesso sono proprio le cose che ci sembrano troppo difficili da verificarsi, che riteniamo appunto impossibili, quelle a cui siamo disposti ad attribuire maggior credito. Del resto, anche la saggezza popolare ha espresso l'evidente certezza di questioni impossibili in detti del tipo: "non si può avere la botte piena e la moglie ubriaca", oppure "se uno nasce tondo non può morire quadrato", ecc...
In matematica questo tipo di espressioni possono essere spesso dimostrate. Molti teoremi infatti affermana proprio che una certa cosa è impossibile. Si tratta di risultati spesso molto belli non solo dal punto di vista conoscitivo, ma anche per il semplice fatto che ci assicurano che i tentativi di risolvere certi problemi sono fatica sprecata e che quindi questi ultimi debbano essere riformulati o abbandonati. Uno di questi risultati, ad esempio, riguarda le equazioni algebriche e fu stabilito indipendentemente da Galois e Abel nel secolo XIX. Per averne un'idea dobbiamo risalire a qualche ricordo scolastico dei primi anni delle superiori dove senz'altro abbiamo sentito parlare delle equazioni algebriche di primo e secondo grado. I più diligenti si ricorderanno pure le formule risolutive che richiedono soltanto le quattro operazioni elementari con al più l'estrazione di qualche radice quadrata. Ora, esistono formule analoghe anche per le equazioni di terzo e quarto grado. Così molti matematici cominciarono a cercare formule anche per le equazioni di grado superiore. Tuttavia, il problema si rivelava molto difficile e tutti i tentativi fallivano. Fino a quando Abel e Galois dimostrarono che tali formule non potevano esistere: il problema era impossibile.
Anche il famoso problema della "quadratura del cerchio" rientra in questa tipologia. Per secoli i geometri hanno tentato di costruire con riga e compasso un quadrato che avesse la stessa area di un cerchio assegnato. Ma tutti questi tentativi erano destinati al fallimento. Come lo sappiamo? Il fatto è che la risoluione di un tale problema equivale a chiedere che il celeberrimo pi-greco risolva una equazione algebrica. Ma nel XIX secolo il matematico tedesco Lindermann ha dimostrato che pi-greco è un numero trascendente, ovvero che non può risolvere nessuna equazione algebrica.
Uno dei teoremi secondo me più profondi dell'ultimo secolo è anch'esso di questo tipo. Si tratta del teorema di Godel. In termini spiccioli esso dice che esistono dei fatti veri che però non possono essere dimostrati. Se vogliamo, stiamo dicendo che anche la scienza ha i suoi limiti e che non si può dedurre tutto da pochi principi fondamentali.
Il fatto che cose impossibili abbiano un grado privilegiato di certezza non è soltanto appannaggio della matematica. Anche molti principi fondamentali della fisica si possono infatti formulare proprio in termini di impossibilità . Il principio di conservazione dell'energia è ad esempio uno di questi. Affermando che l'energia totale di un sistema isolato si conserva, esso vanifica i sogni di produrre il famoso moto perpetuo, ovvero di un dispositivo capace di muoversi indefinitamente senza apporti esterni.
Anche il secondo principio della termodinamica rientra in questo schema. Questo principio si può formulare in termini di entropia, ossia di una quantità  che misura il grado di disordine di un sistema. Ebbene, tale secondo principio afferma che l'entropia di un sistema isolato non può mai diminuire. Dunque può soltanto aumentare o al più restare costante. Questo ad esempio spiega come mai il disordine nella mia stanza aumenta costantemente. C'è poco da fare, si tratta di una legge cosmica!
In questa direzione è anche il principio della relatività  ristretta di Einstein. Dunque, una parte fondamentale della scienza, così come oggi la conosciamo, si basa proprio su quanto si ritiene appunto impossibile.
In ogni caso, il più grande teorema di impossibilità, o meglio di non-impossibilità , si deve naturalmente al buon Dio, come l'angelo Gabriele spiega a Maria: " nulla è impossibile a Dio" (Luca 1,37), per la dimostrazione del quale rimandiamo naturalmente alle scritture e alla vita dei Santi.

Letture utili

- Ian Stewart, Teoremi di impossibilità, Le Scienze N.379, 2000
Sul teorema di Godel e per approfondire alcuni aspetti segnalo alcuni saggi consultabili in rete all'indirizzo: http://ulisse.sissa.it/bibMatematica1.jsp, o anche: www.dm.unipi.it/~granieri
-Paradossi
-Achille, la tartaruga e la nascita delle serie