Giacomo Leopardi (1798-1837)

Da sempre il termine infinito suscita grande fascino, ed interrogativi aperti al mistero e a qualcosa di metafisico, posto oltre l'esperienza umana.
Generalmente pensiamo all'infinito come a qualcosa di cui non è possibile stabilirne una fine. In questi termini, i numeri interi sono un insieme infinito, poichè ad ogni numero, per quanto grande, possiamo pensare di fargli seguire il suo successivo, e così via, nel procedimento del contare che, appunto, sembra non avere mai un termine.
Certamente questo "e così via" non è molto soddisfacente, cosicchè il concetto di infinito resta in qualche modo sfuggente, come se fosse soltanto potenziale e non potesse essere mai raggiunto realmente.
In effetti, si ha sempre l'impressione di essere difronte a qualcosa di strano e insidioso, già dai tempi del liceo, con i paradossi di Zenone che ci lasciavano un pò perplessi, e che, ovviamente, avevano l'infinito come ingrediente fondamentale.
Per dire qualcosa di più concreto dobbiamo allora chiedere aiuto alla matematica, che da sempre medita ed approfondisce questo tema, tanto che l'illustre Hermann Weyl disse una volta:" le matematiche sono la scienza dell'infinito".
Nella vita di tutti i giorni alla domanda di quanto sia grande un certo insieme X siamo soliti rispondere contando. E fintanto che l'insieme X è piccolo va benissimo. Ma quando X è molto grande cominciano i guai. Il matematico e filosofo italiano Federigo Enriques valutava per esempio che "un uomo, occupato a contare 10 ore al giorno per 50 anni della sua vita arriverebbe press'a poco a un miliardo". Che fare poi quando X è candidato ad essere infinito?
E' chiaro che abbiamo bisogno di un sistema più efficace per questi scopi. L'idea fondamentale è quella di confrontare due insiemi tra loro.
Se ad esempio X è l'insieme dei sedili dello stadio, mentre Y è l'insieme dei tifosi, possiamo pensare di di far corrispondere ad ogni singolo sedile un singolo tifoso, sempre sperando non si tratti di Hooligans scalmanati. Se dunque ci sono tifosi in piedi, escludendo che una squadra abbia fatto gol, X è più piccolo di Y. Se invece ci sono sedili vuoti, allora è X più grande di Y. Se infine tutti sono seduti e nessun posto è vuoto, allora X è grande quanto Y.
In quest'ultimo caso, in termini più matematici, diremo che c'è una corrispondenza biunivoca tra X ed Y, o equivalentemente che X e Y sono equipotenti.
Meditando su queste cose, già Galileo si accorse che, ad esempio, i numeri pari potevano essere mesi in corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti gli interi. In effetti, ogni numero pari si può scrivere nelle forma 2n, con n intero. La corrispondenza è allora la seguente:

0 0
2 1
4 2
6 3
.............
2n n

Pertanto l'insieme dei numeri pari e l'insieme di tutti gli interi sono equipotenti. Ma come può una parte essere grande quanto il tutto? Anche Euclide, qualche secolo prima di Cristo, aveva posto tra le nozioni comuni a base della sua geometria il fatto che l'intero è maggiore della parte, cosa che può addirittura sembrare ovvia. Quindi c'era qualcosa che non quadrava e che pareva assurdo. Galileo allora fu preso dallo sconforto, e decise che l'infinito era un sentiero troppo impervio da percorrere, "ove per poco il cor non si spaura". Dunque bisogna aspettarsi qualcosa di bizzarro quando si ha a che fare con insiemi infiniti.
Nel XIX secolo Richard Dedekind definirà un insieme infinito proprio mediante questa strana proprietà, ovvero di essere equipotente ad una sua parte propria. Allora detto N l'insieme dei numeri interi, abbiamo che N è infinito, ammeso naturalmente che esista. A questo punto può sorgere spontanea la domanda: Ma esistono veramente degli insiemi infiniti?
A questo si può rispondere in un attimo postulandone l'esistenza, con il cosiddetto assioma dell'infinito, che dice semplicemente che esiste almeno un insieme infinito. Questo stratagemma può sembrare un pò artificioso, ma in effetti si può mostrare che questo assioma è equivalente ad assegnare un sistema peaniano, cioè un sitema di assiomi proposti per dedurre l'aritmetica, ovvero N,che risulta essere infinito, con le sue proprietà.
Ma il bello è che, ammessa l'esistenza di un insieme infinito, o che è lo stesso dei numeri interi N , allora ne esistono tanti altri. Basta considerare l'insieme delle parti di N , e poi l'insieme delle parti dell'insieme delle parti di N e così via, che individuano insiemi infiniti tra loro non equipotenti.
Questi insiemi vengono denotati con , o potenza del numerabile poichè corrisponde ai numeri interi, , o potenza del continuo poichè corrisponde ai numeri reali, ecc...
Allora ci sono vari livelli di infinito, ciascuno dei quali, se vogliamo, è più infinito di quelli che lo precedono. Roba da non credere! Ma quanti livelli di infinito esistono? Ad esempio, ci sono livelli di infinito intermedi tra e ?
I matematici pensano che tali livelli abbiano una struttura discreta, come i gradini di una scala. Questa è la cosiddetta ipotesi del continuo, secondo la quale non ci sarebbero livelli intermedi tra la potenza del numerabile e quella del continuo.
Queste e tante altre proprietà degli insiemi infiniti vennero alla luce soprattutto grazie al lavoro e alle idee di Cantor, che tra l'altro furono aspramente osteggiate dai suoi contemporanei. Lui stesso una volta esclamò:" lo vedo ma non ci credo".
In questo modo, a partire dai primi decenni del novecento, si è dischiuso uno scrigno pieno di ricchezze, che ha permesso di ottenere i risultati più stupefacenti e interessanti.
IL concetto di infinito costituisce forse una delle più grandi conquiste del pensiero umano. ll grande matematico David Hilbert lo riconobbe come l'indiscusso "nuovo paradiso" dei matematici, e, come il poeta, " tra questa immensità s'annega il pensier mio, e il naufragar m'è dolce in questo mare".

Letture consigliate

Come vuole il tema trattato, la bibliografica su questi temi è a dir poco sterminata. Con un buon rapporto qualità-prezzo il lettore interessato può consultare:

- Autori vari, L'infinito, Le Scienze dossier, numero 8, estate 2001
- Paolo Zelini, Breve storia dell'infinito, Adelphi, 1985
- Bruno D'Amore, M. Matteuzzi, Infiniti, Franco Angeli, 1992

Un breve libretto sull'argomento è:

- Antonino Zichichi, L'infinito, (prima edizione Rizzoli, 1988) Pratiche Editrice, 1998.