respira dimostrazioni

Respira dimostrazioni chromatiche

al pianoforte (2019)

Abbreviazioni: 12ET temperamento equabile; T numeri triangolari; Q numeri quadrati; P numeri pentagonali; PN numeri pentagonali con indice negativo; E esagonali; EN idem con indice negativo.

Il pezzo mostra un incontro tra uno strumento temperato, il pianoforte, e la sequenza dei numeri pentagonali generalizzati. Sequenze di numeri interi possono essere pertinentemente interpretati come figure musicali, nuove o antiche, nostalgiche o inedite, ma comunque coerenti: qui il focus è sulla suddetta sequenza, nello sfondo dell’insieme dei numeri figurati, uno dei grandi temi di ricerca matematica fin dai tempi dei Greci, interpretati algebricamente secondo la formula generale:

(n(n(p - 2) –p +4))/2.

Capostipite di questa formula è la sequenza dei numeri triangolari, per me particolarmente prolifica: dapprima esplorata nella tabella pitagorica, come struttura di intervalli naturali, nella seconda sezione di Matrice/organon (1994-95), poi come serie di semitoni (12ET) nel finale di Presto sarà adagio (1999), ed ancora estensivamente, insieme ai quadrati, in tutto Cori d’ogni distanza/attrazione (2014-15), infine applicati ai quarti di tono (24ET) in Apparati di sordità (2015).

Le sequenze triangolari in 12ET hanno un sapore ottofonico: sono difettive di 4 suoni. Parlando in semitoni, una settima diminuita manca, un’altra è rappresentata due volte, dopodichè la sequenza torna indietro, non considerando l’allargamento ad ottave superiori). La sequenza dei quadrati ha ancora meno colori della scala cromatica: ne contiene solo 4, e si comporta in modo simile in qualsiasi ET. All’opposto, la sequenza dei numeri pentagonali in 12ET è assai più variamente colorata (o meglio è bianca, usando l’analogia con la luce o il rumore); contiene il totale cromatico, ma non al modo dodecafonico, bensì si replica dopo 24 suoni, dopo aver toccato 2 volte ogni nota, non considerando i registri d’ottava. Un comportamento simile si ha nei triangolari SOLO negli ambiti (attraverso operazione di congruenze) di potenze di 2 (detti perciò numeri scortesi), come esplorato nella pag. 27 di Cori d’ogni distanza/attrazione. L’esplorazione delle congruenze, ma beninteso dei numeri pentagonali, costituisce pure il finale della presente composizione.

L’estensione algebrica della formula permette di andare oltre i casi apparentemente minimi di figure a 3 lati e di lunghezza di lato 1 o 0: andando agli interi negativi si ottiene una più ampia matrice, e dai pentagonali in su anche elementi nuovi che meglio illustrano le proprietà della sequenza (estendere P ad esempio già dalla prima pagina del pezzo comporta che le voci estreme si possano incrociare e andare sotto lo zero a mostrare il fondamentale complemento PN). Inoltre, in E, andare oltre lo 0 permette di completare questa notevolissima sequenza con i valori mancanti di T.

Inizio: Come costruire sequenze di numeri figurati con sole 3 voci, un pedale centrale e scale di un solo intervallo. Abbiamo triadi su segmenti di sequenze pentagonali, su voce centrale ostinata (Re centrale). Si evidenziano così le differenze tra un pentagonale e il precedente, sempre crescente di 3 (in semitoni, terza minore). Andando a PN, voci acute e gravi si incrociano, dando origine a una seconda sequenza, armonicamente analoga. Quarto sistema: la voce centrale può anch’essa scendere di terza min., a Si, ottenendo così la triade invertita. Quinto sistema, terza mis.: su Mi bem centrale costruisco con semitoni e toni discendenti la sequenza triangolare in triadi, e da Mi bem. sovracuto parallelamente la stessa seq. T ma melodica. Quindi allo stesso modo seq. dei quadrati Q, e finalmente (inizio pag.2) PN e P (terza mis.). A questo punto, invece di pedali Re o Mi bem., costruisco su una voce centrale che scende cromaticamente. Impossibile non pensare al corale bachiano Ewigkeit du Donnerwort base del Violinkonzerte di Berg. Da ultima mis. 2° sist.: E, poi eptagonali e ottagonali, anche invertiti, poi su voce centrale discendente cromaticamente.

Pag. 3 inizio ostinato-variazioni su sequenza triangolare (‘T’) da Do acuto:

- Tx+T(x-1)= Qx (un semitono, due toni, 3 terze min., 4 terze magg…), quindi attorno al do acuto, due sequenze T in ordine opposto e sfasate di uno danno i quadrati Q.

- 2Tn+(n+1)=Qx (a 4 voci: intervallo esterno=Qx, interni Tx, T(x+1), Tx: ogni passo contiene il germe del passo successivo)

- esplode T melodica, verso estremo acuto (0-36) e risponde Q dall’estremo grave: 49, 36…0)

- primo saggio di Matrice: voce acuta: T a ritroso: 36, 28…0

voce centrale: Lineare cromatica

voce grave: T inversa; le tre voci si distanziano per intervalli uguali a T (indice-1). La parte simmetrica dopo lo 0-origine viene riempita da due T accordali.

-6/8: presentazione in 3 accordi delle 3 melodie che si sovrappongono dalla mis. successiva:

- 3/8 ‘quasi Ländler ma fugato’: in orizzontale, tutti T con opportuni sfasamenti, che in verticale formano armonie P

- Px=Qx+T(x-1)

Pag. 4: su T superius ostinato, altra esposizione di Px=Qx+T(x-1), dove Q è ottenuto anche con due T interlacciati (dove inizia uno finisce l’altro, stesso intervallo centrale); inoltre si ottiene la seguente germinazione:

Qx+T(x-1)= Px e Qx+T(x+1)=PNx

1+0= 1 1+1= 2

4+1= 5 4+3= 7

9+3= 12 9+6= 15

16+6= 22 16+10=26

Su ostinato, basso ‘chopiniano’ a gradi disgiunti: armonia Q, confronto T e TNeg.

4/4 lento pp: T+Q (superius ostinato+ voce inferiore) =P alternato a PN: 0,1,2,5,7,121,15,22,26, ossia pentagonali generalizzati.

Lo stesso, double in forma più esplicita o fiorita con i gradi interni.

Nuova variazione armonizzata sempre in modo simile su P, ma esposto separando l’armonia in voci pari e dispari, che su 12ET sono solo quarte e settime maggiori, e in PN i loro rivolti quinte e none minori, che per curiosa combinazione sono intervalli storicamente definiti e apparentati. Ancora un segnale della pertinenza di usare questa sequenza così ricca di colori.

(A margine, notiamo relazioni con altri mondi cromatici: esattamente nelle 4 note m.d. ultima misura, coincidenti con il quadrato magico di Dürer messo in musica nel mio Melencolia generosa I e II.)

Pag. 5, ‘leggero, alla caccia’, data la somiglianza tra armonie P, PN e le ‘quinte dei corni’, in un tratto della loro estensione. E’ sempre una variazione dove può risaltare il superius ostinato. Gli aggregati sono ottenuti trattando le sue note come zeri di sequenze pentagonali generalizzate, che si spiegano sotto di esso come accordi. Si ottengono relazioni polifoniche anch’esse di numeri triangolari, oppure secondo un’altra lettura, di numeri proni alternati a quadrati.

6/8, di nuovo ‘quasi Ländler ma fugato’, le voci sono 2T (numeri proni o oblunghi n*[n+1]), le armonie P a intervalli a saltare, quindi come prima solo quarte e settime maggiori.

3/4, comincia ad esporre EN, numeri esagonali. Essi sono gli unici che replicano direttamente T, con gli indici a saltare, pari e dispari attorno all’origine. Ciò è sfruttato nella contemplativa serie di variazioni successive (sempre con il superius ostinato ma trasposto un’ottava sotto, dal Do centrale). Si veda in particolare pag.5 ultimo sistema: la sovrapposizione di E (m.d) e T (m.sin.) genera intervalli verticali o armonie P!

21-6=15 10-3=7 3-1=2 0-0=0 1-0=1 6-1=5 15-3=12 28-6=22

Che coerenza, ricchezza e concentrazione di armonie!!

Pag. 6 sul Mi acutissimo, E ed EN, e a sua volta sul Sol interno (=21), esposizione melodica di E ed EN, che si incrociano chiasticamente in EN ed E, reincontrandosi sul Do diesis 15.

2/4, somme di numeri figurati rappresentate da piccoli arpeggi contigui, separati da note ribattute, ben distinguibili nel pianoforte. Così le prime misure mostrano in questo modo il già visto Tx+T(x-1)= Qx. Terzo sistema, su armonici 3° ped.: T+Q=PN; conclude in notine l’unione in bicordi di P e PN=(tutti gli intervalli dalla quinta all’unisono). Segue T+Q=P

Pag.7, dalla seconda misura inizia una sezione più intima e cullante, che parte dal piccolo pattern E di pag.5, un’ottava sotto al grande superius ostinato di pag.3-6. La sequenza continua con una generalizzazione di tale tratto di 8 note (da -3 a 4) su tutte le sequenze di numeri figurati (si veda la Tabella). Al centro avremo il semitono 0-1, ai margini una quinta (essendo tale la relazione tra il num.4 e il -3, in qualsivoglia numero figurato), e altre relazioni coerentemente variate.

Così si percorrono le varie famiglie: P, P un tritono sotto, poi al secondo rigo lato 11, 13, 15, 9, 7, 4 o Q, terzo rigo di nuovo 6 o E, 10, 8 due volte, 5, 12 due volte, 11 retrogradata (ponte cromatico). L’ordine scelto è appunto quello del contenuto armonico: gli ottofonici, con ritornello i tetrafonici e i cromatici come ponti di giunzione.

I righi quarto e quinto presentano una progressione poco diversa: si tiene fisso non il semitono centrale ma una cullante e soporifera terza minore discendente (corrispondente agli n 2 e -1), creando agli estremi acuti sempre delle quinte ma in progressione. Una memoria del pattern iniziale E e del ponte cromatico suscitano un ricordo delle terze minori sulle triadi originai-rivoltate, nelle ultime due misure della pagina (si confronti con prima pag. quarto rigo).

Pag. 8, come pag.6 inizio con E, evidenzia con due voci le relazioni di ottava tra tratti delle stesse sequenze P. Quindi miss. 4 e 5, relazioni ottava o tritono tra P e la sequenza simmetrica di lato -1 (primo rigo della Tabella). E così via altre relazioni abbastanza trasparenti, le due mani variano le figure, l’armonia e si incontrano attorno al semitono centrale.

Molto lento, quinto rigo: ancora da una tripla ottava vuota, un calmo 3/4 a tre voci espone una rete di tre sequenze gentilmente sovrapposte: al centro quella cromatica (lato p=2), agli estremi le speculari T (lato p=3) e T invertita (lato p=1). L’esposizione parte da 36 e decresce oltrepassando lo 0, oltre il quale riecheggiano simmetricamente le memorie ppp delle armonie precedenti, fino alle ottave vuote (pag.9 inizio). Similmente nella sequenza del primo rigo, attorno all’altro punto di simmetria di T (cioè tra n=11 e 12). Seguono altre realizzazioni musicali delle precedenti relazioni; finché all’ultimo rigo miss. 1 e 2 si ribadisce con 4 voci: le estreme su T, una fissa su do=0, l’altra discendente cromaticamente, le armonie ottenute sono tutte T: 1,3,6,10,15,21.

Ultima misura, in 15/16 un canone su armonie P (triadi in eco), e imitazione a -24= due ottave sotto e a distanza temporale di 17/16. Perché ?

Pag. 10, dalla quarta misura, lo stesso sciolto in double fiorito, con tratti melodici di 4 suoni più echi di 3. Consideriamo i gruppi di 4 suoni: seguendo il primo suono di ogni quartina ritroviamo P, ma anche seguendo ogni secondo suono, ogni terzo e ogni quarto: abbiamo in ogni voce una diversa trasposizione di P, in magica ricca e coerentissima sinfonia. P nell’armonia e nella polifonia orizzontale a 4 voci!

Metà terzo rigo, armonie PN e P, trasposte non come all’inizio su un pedale centrale, ma su una voce centrale discendente a toni interi, di conseguenza le altre voci si muovono per semitoni e quarte, incrociandosi attorno allo 0. Segue (quarto rigo terza mis.) altra lettura di P come aggregato di n quarte sotto il Do centrale, più sopra PN; la risultante P viene suggerita come eco p dell’irruente PN .

Infatti n*5+PN(n-1)=P(n)

Ossia come esposto: 0*5+1=+1 ; 1*5+0=5 ; 2*5+2=12 ; 3*5+7=22 ; 4*5+15=35 ; 5*5+26=51; 6*5+40=70.

Segue altro ostinato all’estremo acuto, due mordenti di semitono e tono, 010 e 020. Da dove originano? La seguente sequenza di 3 gruppi di 4 sedicesimi lo può spiegare. La base è la sequenza che cresce a ‘dente di sega’ 0,0,1, 0,1,2, 1,2,3, 2,3,4… Sommando triplette di intervalli, spostandosi ogni volta di un posto abbiamo tre classi:

crescente=T ‘convessa’=P ‘concava’=PN

-1+0+1=0 0+1+0=1 1+0+1=2

0+1+2=3 1+2+1 =5 2+1+2=7 ecc.

Trasponendo lungo la stessa serie si ottiene la cascata di sedicesimi, molto pianistica, in cui ogni quartina parte dagli ultimi tre sedicesimi della quartina precedente. A pag. 11 si tolgono i mordenti acuti e degli accordi a 4 voci evidenziano un’altra particolarità della stessa successione (ma che ritorna all’origine acuta in modo retrogrado): che cioè si possa sintetizzare l’armonia con 2 note permanenti (legame armonico) alternate a 2 nuove.

Raggiunto di nuovo il Mi sovracuto, al terzo rigo terza misura inizia subito un nuovo capitolo dell’elaborazione, quello dei moduli o congruenze, anche diversi da quelli di 12 sottintesi a certe necessarie limitazioni d’ottava finora incontrate. Tutte le congruenze delle sequenze di numeri figurati sono periodiche: vedi nella Tabella la voce periodo.

Alla voce superiore, ff molto, abbiamo P modulo 4, subito sotto modulo 8, la voce inferiore aggiunge P senza rivolti o moduli (essendo modulo 8, l’armonia è di triadi aumentate o ET3=ET12/4).

Con la destra ostinata, la sinistra aggiunge P modulo 16. Un modulo 5 + P originale rompe la simmetria binaria o pari e conduce al Poco meno, che confronta altri moduli dispari: il 7, il 9, l’11, il 13, il 15, 17, 19, 29. Sono degli assoli con o senza glosse o echi deformati dei moduli precedenti, che evidenziano il dispiegarsi sempre più chiaro di figure ricorrenti: i tronconi iniziali di P e PN, un’ascesa 3n con nota ribattuta, tutto con due punti di simmetria retrograda.

A cavallo tra pag. 11 e 12 comincia un approfondimento della bellissima configurazione ottenuta da P modulo 6, che merita perlomeno queste misure. 6 è il primo composto di due primi distinti, e innumerevoli compositori sfruttano tale sua poliedricità basilare, per esempio a livello ritmico con l’emiola. Anche qui la prima metà presenta due terzine con la testa di P, seguite da tre duine di ascesa cromatica (ma in realtà entrambe nascono dallo stesso rivolto di tritono). Dapprima scompongo le 12 note del modulo 6 tra due voci, ottava sopra e sotto a quella della misura iniziale: sono cromaticamente complementari. Quindi sovrappongo le prime 6 note alle ultime 6: armonia di terze minori e multipli o ET4, nel senso che le melodie, seppur cromatiche, si incontrano in contrappunto nota contro nota solo su unisono, 3e min., tritono e 6° magg., e repliche di ottava. Le due misure successive presentano un canone al tritono: ancora complemento cromatico, e ancora armonia ET4 o esclusivamente con 3e min., tritono e 6° magg. Irrompe a sorpresa all’acuto P modulo 12, con le sue chiare progressioni di 4 note, accompagnato da modulo 3 con effetto poliritmico ma stesso colore armonico ET4. Dal terzo rigo si estende l’indagine sui moduli multipli di 3: dapprima il prodigioso modulo 9, cromatico e scomponibile in 3 terzine in progressione di 3e min., poi alla destra modulo 15, con 3 progressioni di 5 (quarte), e ancora 21 (3 di 7 o quinte), il lungo 18 (36 note, essendo pari) che richiama per analogia i sottomultipli 6 e 9, infine il modulo 27, che conduce al climax ritmico, in cui l’avanzamento di 4 note (biscrome) è analogo all’avanzamento di 1 (entrambi sono 3n+1). Infatti l’armonia di TUTTA la pagina è un dolce ET4, che rinasce dalle ceneri del contrappunto adottando similmente 4 soli incontri verticali possibili: unisono, 3e min., tritono e 6° magg., e repliche di ottava.

Pag. 13, come all’inizio ancora tricordi, che avanzano leggendo il già ostinato P modulo 9: ogni accordo ha 2 suoni in comune con il precedente, e uno nuovo: gli armonici selezionati scartano il suono più vecchio. Tutto diviso a ottave alternate, quindi dopo 9 accordi il risultato risulta ripetuto con le mani scambiate, e viene ulteriormente sviluppato con rivolti verso l’acuto e poi precipitando al grave. (Nota che qui il rivolto è coerentemente applicato al modulo 9 e non 12, secondo tale linguaggio gli accordi sono teoricamente solo 3, ma dall’interazione con ET12 si ha un’ulteriore ricchezza cromatica).

Terzo rigo, alla sin. P modulo 9 ostinato, più P originale (di nuovo 0= mi sovracuto): armonia come prima ET4. Da qui è naturale passare al primo modulo esposto, l’8, sempre più P originale: riepilogo prima di tuffarsi nel flusso ininterrotto finale, una lettura di TUTTI i moduli dal 2 al 39.

Le congruenze di modulo pari sono di periodo 2n (quindi multiple di 4), ed espongono il totale cromatico interno al modulo; esse sono esposte dalla mano destra.

Le congruenze dispari sono di periodo n, sono esposte invertite dalla mano sinistra e ripetute due volte, la seconda in perfetto incastro con la mano destra (essendo due dispari successivi multipli di 4 come il ciclo di modulo pari compreso tra essi: infatti (2n-1)+(2n+1)= 2*2n. P.es. nel caso di 3,4,5: 3+5=(due volte 4). Esse sono diversamente ‘colorate’, non hanno il totale cromatico a meno che non siano multiple di 3. Se sono multiple di 3, anche pari, non vi sono note ribattute. Diversamente si crea un motivo retrogrado con intervalli 3x.

In tutte si riconoscono spezzoni di P, e non solo ovviamente all’inizio quando l’operazione modulo lascia la serie inalterata. Si può considerare tale esplorazione dei moduli un’esplosione cubista di P. I rapporti tra mano destra e sinistra diventano via via più chiaramente quasi simmetrici. Alla fine si intromettono le sequenze iniziali in retrogrado, ritornando all’origine.

Giovanni Damiani