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[su numeri
ciclici] 2016 Per
flauto (o ottavino, o
Flauto in Sol) Per
Clarinetto Per
organo a 3 manuali I - SEI
scintilla II
- Resti in DUE III
- Glossario
dell’arcipelago (anche
eseguibili
separatamente) § - prologo
semibuffo Dimostrare
9=10 due
soluzioni: A) 9 base
decimale = 10
base 9 B) 9.9
periodico=10
(s’intende in base 10) §
- Introduzione PEZZO-DOCUMENTARIO:
questo
ciclo di studi, come comporta il genere, non
appartiene al genere
fantastico, ma neanche al reiterare e moltiplicare
conquiste consolidate: esso
è la ‘vera storia’ raccontata puntualmente e
fedelmente da ogni nota del pezzo,
tratte unicamente dividendo due numeri interi in una
base variabile, e
reiterando questo elementare processo fin quando non
si reitera (si ripresenta
il primo resto). Un ambito di lavoro ben circoscritto,
ma che genera enorme
libertà e stimolo all’immaginazione. Conversione
cifra=semitono,
carica di storia, ma potrebbero essere valori di
durata,
microintervalli, rapporti armonici o qualsiasi altra
cosa; molti musicisti
nella vita comune interpretano o memorizzano numeri e
lettere come note. Con
le divisioni o le
frazioni si ha in aritmetica un importante passaggio
dai numeri interi a quelli
razionali, rappresentati sempre con due numeri interi. E’
interessante
l’espansione delle frazioni in forma decimale e anche
su altre basi, in quanto
evidenzia la diversa rappresentazione di uno stesso
rapporto, come anche
musicalmente si può rappresentare in modi totalmente
diversi con la stessa
coerenza. Base=
range
cromatico, se 0= base grave, se decimale= sesta
maggiore, si può contrarre fino
al semitono (base due), o espandere a piacimento. Lettura
dei numeri
ordinaria, dalla cifra più significativa alle più
piccole (con eventuale loop
periodico in dissolvenza nel caso di numeri
periodici). Questo seguendo la
convenzione numerica posizionale (dei numeri arabi),
di conseguenza la prima
nota ‘vale’ x volte la seconda, la seconda x volte la
terza, ecc, dove x=base. Nelle
divisioni, divisione
del suddetto range in parti uguali, possibile
in varie basi composte
(10, 12, ecc) o generatrice di espansioni periodiche,
usando quindi i soli
semitoni che si espandono nel tempo, man mano che i
denominatori crescono, in
modo estremamente irregolare, selvatico. Si
veda per esempio, in base 10, nella Enciclopedia
di Sequenze numeriche: Il
denominatore determina
la maggior parte delle caratteristiche, messe in
relazione con la base. Per
esempio, 1/3=.3333 periodico in base 10, ma in base 3
è .1. E 1/7 è in base 7
ovviamente .1 (periodo 0), mentre in varie basi dà
periodo 6 (molti numeri
primi hanno il periodo=p-1, ma altri danno un suo
sottomultiplo, dividendosi in
2 o più periodi affini). In base 10 dà 0.142857
periodico. (Convertendolo in
semitoni abbiamo due tricordi uno l’inversione
simmetrica dell’altro, secondo
il teorema di Midy per cui se il periodo
dell’espansione di un numero primo è
pari, la seconda parte è l’inversione della prima; ma
non vale per i composti,
vedi 1/21 a mis. 104 del primo movimento). Altra
nota sulle altezze
generate da x/7: esse approssimano una divisione in 7
parti uguali dei 10
semitoni (sesta maggiore), generando un’alternanza di
toni e semitoni (scala
ottofonica). E così, quando non si può avere una
divisione perfetta nella prima
cifra, ci si espande nel tempo in una sequenza
periodica di cifre. Sei scintilla:
primo
movimento, o primo studio del ciclo Ma
esploriamo il primo
numero ciclico: x/7 in base 10, in cui tutti i
multipli danno la stessa
sequenza di cifre, iniziando da un diverso punto (come
le varie fasi di un
periodo): 1/7
= .142857 2/7
= .285714 3/7
= .428571 4/7
= .571428 5/7
= .714285 6/7
= .857142 Può
ricordare gli
acrostici e i quadrati magici; la somma delle cifre è
27. Si
generano così dei pattern
melodici o armonici; talvolta essi sono ripetuti (i
periodi ripetono
all’infinito, ma non abbiamo bisogno di ripeterli). Se
si sceglie una
velocità elevata, si può aggiungere qualche
ripetizione in più, come per
non svuotare il proprio buffer esecutivo. Ma evitando
di perdere tempo prezioso
e di ingrossare le mandrie di ruminanti minimalisti. La velocità può
spingersi
oltre quanto segnato, o ridursi in funzione
dell’acustica, dello strumento, o
per una scelta più colloquiale. Il
secondo ciclo di 6
cifre è x/13, che però fa parte di un’altro tipo di
periodo: qui i periodi
ciclici sono due completamente diversi: 1/13=.076923 e
2/13=.153846. La causa
di ciò è da ricercare nella sequenza dei resti. Nuove
frazioni sono
sempre trascritte ‘in battere’, le misure
corrispondono generalmente a diverse
frazioni. Gruppi di misure simili esplorano in
successione i diversi numeratori
(1/7, 2/7, 3/7 ecc.), o denominatori crescenti (1/2,
1/3, 1/4…, come all’inizio
del secondo e terzo movimento) o una stessa frazione
in basi diverse (vedi la
chiusa del primo movimento, che esplora 1/7
nell’insieme delle basi con periodo
6 e resti comuni). Il
primo movimento si
concentra su periodi di 6 note: x/7 (che domina per 2
pagine, e viene poi anche
applicato ai valori ritmici in modo
proporzionale ai valori reali, questo
il senso dei ribattuti che sembrano il prender tempo
di un improvvisatore a
corto di idee, mentre intende dare l’esatta percezione
della scala reale:
142857=100000+40000+2000…, e ogni divisione espande il
resto di dieci volte). Dopo
questo intermezzo
ritmico, si torna alle veloci sestine di nuovi
periodi: dapprima x/13 nei suoi
due sottoperiodi pseudo-ciclici, e confrontato con
1/7, poi multipli di 7: 49
(7 al quadrato, periodo ben 42 note, 2 parti di 21, i
quadrati dei primi p
hanno sempre un periodo=p^2-p. ), 63, 77, fino al
notevolissimo 91 (7*13), in cui
tutti i periodi precedenti si trovano anche
retrogradati. Resti in due:
secondo
movimento, esplora i soli resti
in base due, crescendo
regolarmente da 2 a 47 semitoni (nell’estensione del
flauto). I resti, nelle
frazioni che generano numeri periodici, coprono tutto
totale cromatico, e si
muovono dalle potenze di 2 (qui la base): 1,2,4,8,16,32
finché il
denominatore dato può contenerle, e la loro
inversione: denominatore=D
D-1,D-2,
D-4, D-8… A
queste linee si
aggiungono dei multipli dispari: 3*2^x
(qui marcato con
frullati, II personaggio timbrico) 5*2^x
(qui marcato con
suoni misti a soffio) 7*2*x
(sottolineato da
rallentando) 9*2^x
(trilli timbrici) 11*2^x
(anacrusi
percussiva) 13*2^x
(armonici) 15*2^x
(espansione
all’ottava di 12+3*2^x)… Quando
non si generano
periodi, un potente colpo di lingua seguito da
silenzio marca la fine di quel
numero. La cosa affascinante, e coerente con lo
sviluppo musicale
contemporaneo, è l’onnipresenza del totale cromatico
(ma su range variabili da
1 semitono a 46) attraversato da una struttura
tematica ricorrente, quasi
incantata. Estrema staticità nell’estrema variabilità. Il
Glossario
dell’arcipelago, terzo movimento, dopo
una rassegna dei periodi da
1/2 a 1/20, si confrontano x/73 (periodi di 8) e x/74
(periodi di 3), questo
secondo fa da eco al precedente. 74=2*37, 1/37 è il
primo numero con periodo 3,
un altro è 1/27, mentre x/81, esplorato nella sezione
successiva, raccoglie in
un unica sequenza notevolissima scale cromatiche quasi
perfette, arpeggi di triadi,
e altri personaggi buffi che ironicamente scimmiottano
gli esercizi dei
cantanti su semitoni ascendenti. Tutto senza
modificare una sola nota, ma
dandone un’interpretazione realistica (non ovviamente
l’unica possibile). x/81
(9*9) base 10 è
preceduto dal suo analogo in base 8, ossia 7*7, su una
quinta, colorata dalla
voce che tiene la prima cifra, la più significativa. Attraverso
il 39, si
arriva ad alcuni casi, 121 (11*11), all’acuto 41
(primo periodo di 5), 1/17
(periodo 16), 18/19 (periodo 18); x/117 (ancora
periodo 6). E infine
arriviamo al periodo più grande
qui adoperato, un periodo di ben 462 valori
(2*3*7*11), ottenuto da 113/1978
(1978=43*23*2). Notiamo
che il numero
completo dei pattern è: base elevato al numero
di note dei pattern. Ad
esempio, su un range cromatico di sesta magg (base 10)
si possono avere un
milione di periodi di 6 note, rappresentati in ordine
di valore da 0/999999 a
999998/999999. Tali pattern includono ovviamente il
noto x/7, e i 999 di 3 note
tipo .037037 (1/27), i 99 di 2 tipo .090909=1/11), o i
9 di 1 (.111111=1/9).
Qualsiasi breve melodia potrebbe essere rintracciatia
e ordinata in un catalogo
sistematico piuttosto lungo e noioso. Cosa che si farà
più avanti ma in un
campo totalmente diverso. Ancora
più ricco infatti
è il numero non del tutto periodico, non razionale
dove ci si perde qui a mo’
di conclusione o di apertura finale. Intendiamo il Pi
greco, il più noto dei
numeri irrazionali e trascendenti. Lo possiamo
considerare un’unica melodia
infinita di romantica memoria. Nella sua espansione
decimale (la più nota) già
dal valore 762 ci imbattiamo in una situazione
altamente improbabile, appunto
di probabilità 1/999999. Fissiamo
per dare un
passo una misura di 10 valori, e investighiamo le
prime 200.000.000 misure, un
po’ spigolando, ormai si è tutti quasi esausti. Anche
in esso ricerchiamo
vari pattern di poche note… ma proseguendo oltre il
miliardo, in teoria si
potrebbe ritrovare qualsiasi sequenza di note, ancor
più rapidamente che nella
onnicomprensiva borgesiana Biblioteca di Babele, o
nell’Infinito di Leopardi
ritrovato nell’infinito casuale del racconto di
Tommaso Landolfi La dea
cieca o veggente, del 1962. Tali pattern si
trovano nei contesti più
imprevedibili, molti tediosi, altri di strana
sovrumana fantasia. Innanzitutto
ritroviamo spesso il nostro iniziale 142857, ma anche
improvvise memorie
beethoveniane… |
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