I numeri con cui si conta: 0,1,2,3…. sono i numeri naturali, e vengono indicati con N.
È definita in N un’operazione, detta addizione, che ai numeri naturali x e y, associa il numero naturale somma di x e y, che si scrive x+y.
Valgono le seguenti proprietà:
1. a + b = b + a per ogni a, b (proprietà commutativa dell’addizione);
2. (a + b)+ c = a + ( b + c) per ogni a, b, c (proprietà associativa dell’addizione);
3. a + 0 = a = 0 + a per ogni a (si dice che il numero naturale 0 è elemento neutro per l’addizione);
4. (a + b = c) 
(c ³ a, c
³ b);
5. Se a £ b, c’è un numero naturale h tale che a + h = b, viceversa se c’è un numero naturale h tale che a + h = b, allora a £ b.
In simboli: (a £ b) 
esiste h tale
che a + h = b.
6. a = b 
a + c =
b + c ( legge di semplificazione)
È definita in N anche la moltiplicazione, che associa ai numeri a, b il numero naturale a · b, detto prodotto di a e b.
Valgono le seguenti proprietà:
1. ab = ba per ogni a,b (proprietà commutativa);
2. (ab)c = a(bc) per ogni a,b,c (proprietà associativa);
3. a · 1 = a = 1 · a , per ogni a (1 è elemento neutro per la moltiplicazione);
4. se almeno uno dei numeri a,b è nullo, tale è pure a · b; se a · b è nullo, lo è pure almeno uno dei due numeri a,b;
in simboli (a = 0 
b = 0) 
(a · b = 0) (legge
di annullamento del prodotto)
5. se c ¹ 0, a = b 
a · c = b · c (
legge di semplificazione).
Vi è inoltre in N una proprietà che si riferisce alla moltiplicazione e alla addizione:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c) (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione).
E’ la proprietà comunemente usata nella moltiplicazione per esempio di un polinomio per un monomio.
È importante fare attenzione al fatto che, nella legge di semplificazione della moltiplicazione, si suppone c¹0. Dimenticarsene porta spesso a relazioni assurde (tipo 0=1).
In N vi è inoltre un ordinamento totale, nel senso che presi due naturali qualunque è sempre possibile confrontare due elementi e stabilire quale sia il maggiore.
Rappresentazione dei numeri Naturali
Data una retta
r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un
verso si dice orientata. Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a
cui associamo il numero 0, segniamo poi
a ugual distanza l’uno dall’altro i punti A,B,C,
…. Al numero 1 associamo il punto A,
al numero 2 il punto B, e così via.
In tal modo otteniamo una corrispondenza tra l’insieme N e i punti della retta r.
Naturalmente vi sono punti di r che
non sono immagine di alcun elemento di N:
fra il punto O e il punto A c’è almeno un punto X di r,
ma non c’è nessun numero naturale al quale sia associato X. I numeri 0, 1, 2, 3, 4, … sono le ascisse rispettivamente dei
punti 0, A, B, C, D, ….
Potenza
Comunemente, l’elevamento a potenza si definisce come prodotto di un certo numero di fattori uguali:
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
In generale
ab = a · a · a · … · a (b fattori).
Definendo la potenza in questo modo, però, a0 e a1 non hanno senso, e si debbono fare opportune convenzioni per estendere anche a questi casi la definizione di potenza.
Possiamo scrivere così la definizione di potenza con esponente maggiore o uguale a 1:
Definizione: a1 = a, an = an-1 · a ; a0 = 1.
Ritroviamo dunque la potenza ab, con b > 1, come prodotto di b fattori uguali ad a.
Proprietà delle potenze:
1.
am .
an = am + n;
2.
(a .
b)n = an .
bn;
3.
(am)n = a m n;
4.
(abc)n=anbncn;
5.
(a:b)n=an:bn
Divisione
Solitamente si dice che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Infatti, affermare che
a : b = q
equivale a dire che
a = b · q. (1)
Innanzitutto non può essere b = 0. Infatti se fosse b = 0, per la (1) dovrebbe pure essere a = 0, ma allora q potrebbe essere un numero qualsiasi!
Tuttavia, in N non esiste sempre il quoziente a : b anche se b ¹ 0. Però, se tale quoziente esiste, esso è unico.
Se x = qy, diciamo che x è multiplo di y,
che x è divisibile per y,
che y è un divisore di x.
Un numero p Î N si dice primo se ammette come divisori solo 1 e p.
Se un numero non è primo, e quindi ammette almeno un divisore diverso da 1 e da sé stesso, si dice composto.
Nell’insieme N i numeri primi sono particolarmente importanti perché ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di numeri primi; questa scrittura prende il nome di fattorizzazione in fattori primi, e questa fattorizzazione è unica (Teorema fondamentale dell’aritmetica).
Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra di loro solo i fattori comuni elevati al minimo esponente.
Quando MCD (a, b) = 1, si dice che a e b sono primi fra loro (cioè non hanno fattori primi in comune).
Il minimo comune multiplo di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni elevati al massimo esponente.
Esempio
MCD (12, 54, 18) = 6
mcm (4, 7, 98) = 196
Dati i numeri naturali a, b (con a³b, b ¹ 0), esistono un solo numero naturale q e un solo numero naturale r tali che
a = bq + r, con r < b.
Se risulta r = 0, è possibile la divisione esatta.
Un numero si dice pari se è multiplo di 2 e lo si può indicare con 2n, nÎN, dispari altrimenti, in tal caso lo si indica con 2n +1, o con 2n-1, nÎN.
Esercizi
1. Scrivere il più piccolo numero naturale che abbia come divisori distinti da 1 e sé stesso i numeri 2, 3, 11. [66]
2.
E’ possibile trovare un numero n i cui unici divisori distinti
da 1 e da sé stesso siano
2, 3, 11. [F]
3. Dire, senza eseguire i calcoli, se le seguenti uguaglianze possono essere vere, e per quali proprietà:
33 . 52 . 7
= 32 . 53 . 7 [F]
16 . 10 = 32 .
5 [V]
3 + 5 . 2 + 7 = ( 3 + 5) .
2 + 7 [F]
3 + 5 . (2 + 7) = 3 + 5 . 2 + 5 . 7 [V]
4. In N la divisione gode della proprietà commutativa? [no perché…]
Numeri interi
I numeri interi, detti anche interi relativi, sono
0, ±1,±2,±3,±4…….
Definizione: un numero intero relativo è
una coppia formata da un segno, + o -, e da un numero naturale (+0 = -0: solo
in questo caso c’è coincidenza).
E’ possibile estendere ai numeri interi tutte le proprietà viste per i naturali.
Definizione: si dice valore assoluto di un numero intero relativo, il numero stesso privato del suo segno; il valore assoluto di un numero è quindi un numero positivo.
|5| = 5; |-3| = 3.
Definizione: la somma di due numeri a e b di ugual segno è un numero dello stesso
segno; il suo valore assoluto è la somma dei valori assoluti di a e b.
La somma di due numeri c e d di segno diverso è un numero che ha il
segno dell’addendo di valore assoluto maggiore; il suo valore assoluto è la
differenza dei valori assoluti di c e
d.
2 + 3 = 5; -2 –7 = -9; -5 +10 = 5
L’insieme dei numeri interi si indica con Z, e in esso si può sempre eseguire la
differenza tra due numeri qualunque. (cosa che non era possibile eseguire in N)
In questo insieme valgono tutte le proprietà viste
per N e inoltre per ogni zÎZ esiste un elemento che si
dimostra essere unico e si indica con –z, tale che z + (-z) = 0.
Quanto a 0, chiamiamo suo opposto zero stesso, dato
che 0 + 0 = 0. Invece in N solo 0
ammette l’opposto (0 stesso).
Definizione: il prodotto di due numeri
relativi, in valore assoluto, deve essere il prodotto dei loro valori assoluti:
| a × b | = | a | × | b |.
Resta da determinare il segno
del prodotto, come è spiegato nella regola seguente
+a·(+b) = +ab;
+a·(-b) = -ab;
-a ·(+b) = -ab;
-a ·(-b) = +ab;
È molto importante osservare che quando scriviamo –b, +ab, -z con a, b, z interi, non stiamo affermando che il primo e il terzo sono numeri negativi, ed il secondo positivo. Ad esempio, potrebbe essere b = -2, a = 4, z = 5. Allora –b>0, +ab<0, -z<0.
Rappresentazione dei numeri interi
Data una retta
r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un
verso si dice orientata. La freccia indica un verso che diciamo positivo; il
verso opposto è detto negativo.
Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a
cui associamo il numero 0, segniamo poi
a ugual distanza l’uno dall’altro i punti A,B,C,
…. associando ai numeri negativi i punti che precedono O nel verso
prefissato. In tal modo abbiamo una corrispondenza tra l’insieme Z e i punti
della retta r. Essa però non è una
biiezione; vi sono infatti punti di r
che non sono immagine di alcun elemento di Z.
Esercizi
1. Scrivere tre numeri negativi il cui valore assoluto non sia maggiore di |-5| e due numeri positivi maggiori di |-2|.
2. Scrivere due coppie di interi concordi e due discordi.
3. Verificare con qualche esempio la proprietà associativa dell’addizione.
I numeri razionali sono le “frazioni”, della forma a/b con a, b Î Z,
b ¹ 0. Osserviamo che due
frazioni distinte possono rappresentare lo stesso numero.
Se a e b sono primi fra loro la frazione a/b si dice ridotta ai minimi termini.
L’insieme di tali numeri si indica con Q. In Q si può sempre
seguire la divisione tra due elementi qualunque, a patto che il secondo sia
diverso da zero (Cosa che non era possibile in Z)
Eseguendo la divisione fra due interi si possono ottenere o un numero
decimale finito o un numero decimale illimitato periodico.
Nell’insieme dei razionali valgono tutte le proprietà viste per i
numeri interi, inoltre per ogni qÎQ che sia diverso da zero,
esiste un numero razionale che si indica con 1/q o con 
, detto reciproco di q: tale che q(1/q) =1.
Ecco le regole per l’addizione e la moltiplicazione di due numeri razionali :
Si ha inoltre che
nel caso in cui b, d siano positivi. (Considerate voi accuratamente gli altri casi).
All’infuori di 0(=0/1) ogni
elemento di Q ha l’inverso e quindi r : s,
con s ¹ 0, è il prodotto di r per l’inverso di s; in Q0
l’insieme dei razionali privato dello zero) la divisione è sempre possibile. Il
quoziente r : s è quel numero razionale q
tale che q·s = r.
r/s è anche chiamato rapporto fra r
e s.
Sulla retta orientata r fissiamo un punto O a
cui associamo il numero razionale 0, e un punto A, che segue O nel verso
positivo fissato, a cui associamo 1. Come trovare il punto B di r da associare al
numero razionale assoluto m/n? Si
tratta di dividere la lunghezza di |OA|
in n parti uguali per poi costruire
il multiplo secondo m di una di
queste parti. r si dice l’ascissa di B.
Come nel caso dei naturali e degli interi i numeri
razionali non “esauriscono” tutti i punti della retta: questo però è un po’ più
difficile da vedere che non nel caso di N
e Z.
Insieme in cui si opera |
Nome dell'operazione che alla coppia
ordinata (a, b) fa corrispondere c |
Condizione per effettuare
l'operazione |
Proprietà fondamentali |
N |
Addizione |
nessuna |
commutativa,
associativa, dotata dell'elemento neutro |
|
|
Moltiplicazione |
nessuna |
commutativa, associativa, dotata dell'elemento neutro,
distributiva rispetto all'addizione, legge di annullamento del prodotto |
|
|
Sottrazione |
a³b |
invariantiva |
|
|
Divisione |
b¹0; a multiplo di b |
invariantiva,
distributiva rispetto all'addizione |
Z |
Addizione |
nessuna |
come
in Q |
|
|
Moltiplicazione |
nessuna |
come
in N |
|
|
Sottrazione |
nessuna |
come
in Q |
|
|
Divisione |
b¹0; a multiplo di b |
come
in N |
Q |
Addizione |
nessuna |
come
in N; inoltre tutti gli elementi
ammettono l'opposto |
|
|
Moltiplicazione |
nessuna |
come
in N; inoltre tutti gli elementi
diversi da zero ammettono l'inverso |
|
|
Sottrazione |
nessuna |
come
in N |
|
|
Divisione |
b¹0 |
come
in N |
Esercizi
1. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri:
+1/3, -5/4, 1.2, 1.33333…. , 0, -2/15.
2. Calcolare il valore di ab + ac + bc con:
a = -3, b = -1, c = -4 [19]
a = -1/3, b = +2 c = -4/3 [-26/9]
3. Scrivere tre numeri razionali negativi maggiori di –4 e tre razionali positivi minori di |-5|.
4. Completare con i segni: <, =, >
+3/2 …. +2
|-7| …. 1.3
|-5| …. 5
0 …. |-5|
1.3 …. 1.33
-3/4 …. –4/3
5. Provate che se a>b e c<0, allora ac < bc.
6. Si può affermare che a > -2 se a > -1?
7. Calcolare:
