Questo argomento matematico viene applicato alla meteorologia in
quanto, nella costruzione di mappe meteorologiche, le linee/curve di livello vengono
disegnate per collegare, per esempio, i vari punti di uguale pressione (isobare) o di
uguale temperatura (isoterme). In generale le curve di livello vengono utilizzate per
rappresentare le funzioni di due o più variabili. Prima di soffermarci sull'argomento
principale, è meglio definire il significato di "funzione a due o più
variabili".
Funzione di due variabili è una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri
reali (x, y) Î D uno ed un solo numero reale (ovviamente
il tutto lo si può ampliare anche alle funzioni a più variabili):
f: D® R dove DÍ R2 ;
(x, y)® z = f (x, y)
IL DOMINIO DI FUNZIONI DI DUE VARIABILI
In questa esemplificazione appare il dominio, che è un sottoinsieme del prodotto
cartesiano RxR=R2. Ciò vuol dire che il dominio è formato da una coppia di
numeri reali e z, perciò, corrisponde a valori del sottoinsieme f(D) di numeri reali,
chiamato codominio della funzione. Di seguito ecco qualche esempio di dominio:
z = x2+y2+4; D = R2
In quanto a qualsiasi coppia di valori reali (x, y) corrisponde un valore reale.
z = (2x+y)/(x-y+2); D= {(x, y) Î R2 | x-y+2 ¹ 0}
Ossia, tutti i punti del piano cartesiano esclusi quelli appartenenti alla retta di
equazione x-y+2=0 in quanto una frazione con a determinatore il valore zero non
rappresenta un valore reale.
_____
z = Ö x+y-1; D = {(x, y) Î R2
| x+y-1³ 0}
La disequazione x+y-1³ 0 risulta verificata da tutti i punti
del semipiano individuato dalla retta di equazione x+y-1=0 nei quali l'espressione x+y-1
risulta positiva o nulla. Nel grafico è il semipiano evidenziato dalle frecce.
Infine è da specificare che la variabile z viene chiamata variabile dipendente da x e y,
mentre x e y vengono denominate variabili indipendenti, in quanto la prima dipende dai
valori che assumono le seconde.
Possiamo definire le curve di livello, come la proiezione ortogonale (perpendicolare) sul
piano (x, y) dell'insieme E dei punti della superficie aventi lo stesso valore z = k,
cioè con la stessa quota.
Un esempio: rappresentazione mediante linee di livello della funzione
z = 2x-y+1
le linee di livello sono rette di equazione: 2x-y+1=k che risultano parallele fra loro, in
quanto hanno ovviamente lo stesso coefficiente angolare, in questo caso pari a 2.
La funzione avente la retta che passa per l'origine, avrà valore pari a 1, perché
sostituendo a x e y della funzione i valori zero (coordinate dell'origine), si troverà 1.
f(0, 0) 2(0)-0+1 = 1
f(0, 2) 2(0)-2+1 = -1
f(3, 0) 2(3)-0+1 = 7
La funzione rappresenta un piano dello spazio che è intersecato dai piani z = k paralleli
al piano xy secondo un fascio improprio di rette (è detto fascio improprio una serie di
linee con direzione uguale) che è proiettato perpendicolarmente sul piano xy nel fascio
di rette improprie di rette di equazione: mx+ny+p=k.
La rappresentazione mediante linee di livello viene utilizzata per la ricerca e la
determinazione dei punti di minimo e massimo (relativi o vincolati). Si pensi, ad esempio,
alle isoipse (le linee che congiungono le varie zone di uguale altezza) di una carta
topografica o, nel caso di mappe meteorologiche, delle isobare, delle isoterme...
Ma come si possono classificare i massimi (e minimi)? Una prima
classificazione si può ottenere individuando gli estremanti (massimi e minimi) liberi e
quelli vincolati. Entrambi possono essere poi divisi in relativi o assoluti. La differenza
tra liberi e vincolati viene riposta nel fatto che esista o no una funzione vincolante
(vincolo, appunto) che limiti la funzione obbiettivo. La definizione, invece, di un
estremante relativo può essere soddisfatta dalla seguente frase.
La funzione f(P) ha un massimo, o minimo, relativo in P0 (punto appartenente al
dominio), se esiste un intorno di P0 (appartenente al domino della funzione), tale che per
ogni punto P dell'intorno sia f(P)>= f(P0) nel caso di un minimo o f(P)<=
f(P0) nel caso di un massimo.
Se le relazioni valgono non solo in un intorno di P0, ma di tutto il dominio,
allora si parla di estremanti assoluti.
CONDIZIONI NECESSARIE
E SUFFICIENTI PER L'ESISTENZA DI
MINIMI E MASSIMI LIBERI
Per il calcolo degli estremanti liberi relativi bisogna trovare le condizioni necessarie e
sufficienti qui sotto elencate.
1) Condizioni necessarie:
z'x = 0
z'y = 0
2) Condizioni sufficienti:
H = f ''xx f ''xy
f ''yx f ''yy
Si ha un massimo relativo se H(x, y)>0 e f ''xx (xx, yx)<0
Si ha un minimo relativo se H(x, y)>0 e f ''xx (xx, yx)>0
Si ha un punto di sella se H(x, y)<0 e la diagonale principale<0
Si ha un punto di flesso se H(x, y)<0 e la diagonale principale>0
Se H(x, y) = 0 si esamina il comportamento della funzione nell'intorno P0 o
direttamente o mediante le linee di livello.
Ecco, invece, un esempio sulle modalità del calcolo di un minimo vincolato, che può
essere risolto mediante: 1) rappresentazione grafica, 2) riduzione a una funzione di una
variabile o 3) funzione di Lagrange.
Funzione obbiettivo: z = x2+y2
Vincolo tecnico: x+2y-4 = 0
1) Rappresentazione grafica
z = x2+y2
Si sostituisce alla z una variabile K:
k = x2+y2
In questo caso, le linee di livello, sono una circonferenza di raggio Ök
e di centro P(0, 0)
Con questo metodo bisogna studiare in quale modo cresca la funzione, tramite il metodo
della sostituzione. I risultati dei calcoli di z(x, y) in due punti del piano, ci indicano
il verso della "crescenza/decrescenza" della funzione stessa.
Funzione:
z(0, 0) 0+0 = 0
z(2, 2) 4+4 = 8
Quindi la funzione cresce dal centro verso la periferia.
Vincolo:
x 0
| 4
y 2
| 0
Da tutto ciò si evince che il punto tangente alla circonferenza di coordinate P(4/5, 8/5)
è un minimo vincolato.
2) Riduzione a una funzione di una variabile
Si isola il vincolo e si determina la x.
x = 4-2y
Intersechiamo le due funzione (obbiettivo e vincolo) sostituendo la x nella funzione
obbiettivo. Si ottiene, così, una funzione a una sola variabile.
z = (4-2y)2+y2
z = 5y2-16y+16
La condizione necessaria per la presenza di estremanti prevede che y'=o, quindi:
z'y 10y-16
= 0 per
y = 8/5 z'>0 per y>8/5
Poi, per calcolare la x del punto (che può essere un minimo o un massimo), si sostituirà
la y ottenuta al vincolo, per calcolare così il punto di minimo o massimo.
x = 4-2(8/5) 4/5
P (4/5; 8/5)
Per calcolare il valore della funzione in P(4/5; 8/5), si dovranno sostituire le
coordinate del punto trovato alla funzione.
Zmin = (4/5)2+(8/5)2 = 80/25 8/5 (min)
3) Funzione di Lagrange
Si calcola, per prima cosa, la funzione lagrangiana (combinazione lineare della funzione
obbiettivo e del vincolo):
zx = x2+y2+(x+2y-4)
Poi, per soddisfare la condizione necessaria per la presenza di minimi/massimi, si
metteranno a
sistema le tre derivate delle variabili, ponendole uguali a zero.
Quindi, applicando questo schema generale, all'esemplificazione in esame, otterremmo:
da cui
= -8/5, y = 8/5, x = 4/5 quindi P(4/5, 8/5) e = -8/5
Questo per soddisfare la condizione necessaria per l'esistenza di minimi o massimi
relativi; cioè, bisogna annullare le derivate prime parziali della lagrangiana,
determinando poi il punto critico
P0(x0; y0) e = 0.
Poi bisogna calcolare l'hessiano orlato, per soddisfare la condizione sufficiente,
mediante questo schema:
0
| 4
per
y = 8/5 
z'>0 per y>8/5
4/5 
(x+2y-4)
1 2 0 = -10