cori

Appunti di un incontro musica/matematica, o più precisamente composizione con teoria dei numeri, applicata in moolti modi ai principali sistemi musicali, scala temperata, ritmi, durate, ritmi e tempi metronomici.

Le prime 5 pagine esplorano a partire da un C# gravissimo (preso come distanza zero) tutti gli intervalli, con cadenza periodica di 4’’. Sia questi quattro secondi sia gli intervalli sempre crescenti cromaticamente sono suddivisi in parti uguali, quando è possibile, cioè quando gli intervalli sono numeri composti. Non è una grigia ascesa: ogni numero primo è ‘colorato’, oltre che dal suo intervallo di base, da ritmi e figure caratteristiche: divisioni interne nelle potenze di due, oscillazioni più ripetizioni per i 3x, quarta calante in battere per i 5x, accordo i 7x, arpeggio pp i 11x, accordo ff 13x, ribattuto periodico 17x, ecc. Ogni primo si staglia tra numeri composti sempre più densi e complessi come solitaria sorgente di un nuovo carattere. Studio su intermittenza (tra una misura e la successiva ovviamente non vi sono suoni e caratteri comuni, oltre a 0 e 1) e relazioni periodiche invece a ogni distanza (ogni 2, 3… n misure). Origine la misura 0, cluster di tutti i suoni.

A mis. 79 il C# si ‘schioda’ e procede ogni tanto per moto contrario all’ascesa cromatica, fino a che non si raggiunge a 88 il limite dell’estensione pianistica, e si cambia algoritmo o procedimento di trasformazione della rete delle periodicità: lo 0 è posto al G acutissimo, e vi è una discesa cromatica ma molto più rapida (100 suoni al minuto finché tecnicamente possibile).

A pag. 5 metà l’origine si sposta nuovamente, andando al centro esatto della tastiera: tra E e F, e si espongono i suoni/intervalli dispari muovendosi per modo contrario da tale centro (che è un 1, rappresentato da un semitono).

A fine pagina si introduce un nuovo procedimento, che diverrà centrale in tutto il pezzo (mentre l’esposizione avvenuta finora ha un carattere preparatorio, di base elementare che riaffiora in alcuni punti come vedremo). Tale procedimento si potrebbe chiamare ‘divisione in parti diseguali’ e somma dei numeri da 1 a n. Si tratta dei numeri triangolari, n(n+1)/2:

Così il 15 diventa, oltre a 5*3 e 3*5, anche 1+2+3+4+5 o 5*6/2; 21=3*7=1+2+3+4+5+6=7*6/2. Inoltre vi sono anche numeri ‘trapezoidali’ quali 25=3+4+5+6+7=5^2=T7-T2 (dove indico T2 il secondo num. triangolare =3*2/2, T7 il settimo=8*7/2, ecc.

Poi abbiamo il 27 come 8+9+10 ma anche (3*5)+(3*4) e T7-T1; 33=3*11=T8-T2; 30= T8-T3; 35= 5*7=T8-T1=T9-T4 (trapezoidale in più modi);

78= 3*9=18+19+20+21=25+26+27=13*6 (memoria dell’esplosione ff di pag.4, che inaugura una serie di citazioni dell’introduzione). Si percorre la serie dei numeri triangolari rileggendo in ordine retrogrado alcune delle misure dell’introduzione; i numeri triangolari sono numeri composti (ad eccezione dei primi due), e quelli consecutivi hanno sempre un fattore comune, essendo Tn=n(n+1)/2. Quindi l’introduzione, letta saltando da un composto all’altro, acquista un ‘legame armonico’ che le mancava totalmente. Inoltre la regolarità iniziale viene leggermente compressa da una curva in accelerando ‘triangolare’ (corrispondente a rapporti x/(x+1), da 11/12 fino a 1/2 (da quasi 4’’ a 2’’). La frase successiva espone nell’ordine originale i n. triangolari, evidenziando chiaramente come essi si generino dai numeri naturali: la m.sin. fissa sullo 0 originario=C# , trillata nervosamente con i n. dispari 1,3,5.7.9.11, mentre la destra riporta gli stessi intervalli a partire dall’ultimo raggiunto. Si ottengono (tra grave ed acuto) gli intervalli triangolari dispari (detti anche num. esagonali come si vedrà più avanti); i pari sono intercalati in levare tra una misura e l’altra.

Segue da pag. 7, 3° mis., una composita ascesa di due strati, ognuno composto da uguali intervalli e durate, entrambi multipli dell’unità ritmico-diastematica croma=semitono. Sono tutti, prendendo la somma dell’arco melodico-ritmico, quella particolare serie di numeri composti che sono ancora i numeri triangolari, qui interpretati appunto in una doppia lettura di periodicità: nota più grave il Si (originariamente G), la m.d. interpreta il 3=T2 e il 6=T3 con seminime puntate e terze minori, mentre per la m.sin. il 6 e il 10=T4 con seminime e toni (3+5). Così via, fino al 55=T10.

Segue una nuova ripresa delle misure introduttive, in tagli più vivaci e trasposta entro l’ambito appena raggiunto di 55 semitoni: abbiamo la citazione del 55 o mis.55, poi i composti di 5 50+5 (rispettivamente all’acuto e al grave), 10+45, [quindi una misura con le due armonie in nuova interpretazione come numeri triangolari] 40+15, [si inseriscono talvolta alcune misure che glossano lo stesso ambito con numeri triangolari] e a pag.8: 20+35, 25+30, glossa ppp, ancora 25+30 (ma scambiando acuto e grave); quindi dal 3° rigo si impongono le ‘armonie’ di num. tringolari.

Al 4° rigo i num. 66 e 78 (sempre interpretati come intere misure, qui citando l’introduzione) ‘sfondano il tetto’ del F# acuto.

Segue una doppia esposizione di num. triangolari (in triadi), dai già noti pivot G acutissimo (verso il basso, come un filtro passaalto) ed E centrale (che si allarga simmetricamente come un filtro passabanda che allarghi la banda). Quest’ultimo, rendendo mobile la già nota centrale E-F, interpreta i triangoli ora dritti ora rovesci: vedi dal 5/4: dal grave intervalli 0,1,3 riletti dall’acuto diventano 3,1,0, poi 5,2,0 al contrario 0,2,5. Tutto ciò ascoltando la musica o leggendola sotto le dita diventa molto più semplice che a parole.

Quindi, in pp, altra doppia esposizione stavolta in bicordi a entrambe le mani, la m.d. esplora i bicordi-differeza tra T(n+2)-Tn=num dispari, la m.sin sempre per moto contrario (stessi num. dispari,) e poi per ascesa (si ottiene la serie numerica con differenze n.dispari ossia i numeri quadrati, fondamentale ‘sorella maggiore’ della serie numeri triangolari, che troveremo spesso impiegata. Dopo tre misure, in 2/4, riesposizione di n.quadrati, ma alla m.sin. i tricordi con centro mobile [1]: non più il seitono E-F ma il tono E-F#, con tutta la folla di memorie di tonalità minori e maggiori che si tira dietro.

A pag.9 si approfondiscono ancora, nei numeri triangolari, le differenze a distanza di 2,3,4,5,6 elementi, chiamate anche numeri trapezoidali, numeri composti che vengono divisi o in parti uguali (cicli di seconde, terze, ecc. come nell’Introduzione) o in modo ‘triangolare’ (intervalli regolarmente crescenti, creando un colore armonico triangolare che sempre più si afferma, anche perché rigorosamente ottotonico. Se analizziamo la serie triangolare tradotta in semitoni, infatti, abbiamo che dopo 12 note o numeri si ripetono gli stessi intervalli accresciuti di 12 o ottava, dopo 6 gli intervalli tornano indietro, dal tritono alla settima maggiore; di questi 12 suoni 4 sono presenti due volte (ripropongono 2 vulte un accordo di settima diminuita o meglio di terze minori), e un’altra serie di terze minori è assente.

Tornando alla pag.9, queste sequenze polifoniche si muovono entro la guida ferma della serie triangolare discendente dal G acutissimo.

All’ultimo rigo inizia un altro algoritmo: i n. trianglari si chiamano così perché contano i punti di cui sono costituiti triangoli di lato 1,2,3 ecc; o per fare esempi più concreti, pile complete di bottiglie o altre cose impilate similmente. Accrescendo tali pile, si ha quello che i greci chiamavano gnomon, un modello sempre simile a se stesso al variare delle dimensioni. Si può interpretare ogni triangolo come 3*n+1. Raggrupando a tre a tre, posso creare un ‘fugato’ su una sequenza di figure di semitono 1 (A#-B), terza min.3 (G-B bem) e tritono 6 (E--B bem)

Comincio a stancare o a far gustare l’eleganza e coerenza di tali ‘visioni’? Il 78 (importante raggiungimento, inquanto tocca il G acutissimo e il C# gravissimo, due note cardine del pezzo) è quindi letto, al 13/8 di pag.10, come 27+26+25 (quindi come n.trapezoidale), e poi 18+19+20+21, (idem, arriviamo alla prima mis. Di pag.11) ma tra queste letture si introduce due volte un elemento nuovo, F-DDD (nuovo ma ancora 1 +3 o 3+1), che sfocia nella sezione seguente, piena di ribattuti nel registro acuto, dal carattere credo piuttosto ‘all’aria aperta’. Se godono di vita animale o vegetale non so, di certo ricreano un’altra proprietà dei n. triangolari, che

Siccome molti di questi numeri sono uguali alla somm di due precedenti, si può creare una rete di coincidenze ritmiche.

Il grande 78 spezza apparentemente questa idillica parentesi, in realtà attraverso lo stesso ritmo 3+1. Al ¾: 78=21+36+21(=T6+T8+T6), il 21 si come 3*7 sia trapezio 8+7+6; quindi una mis. dopo lo stesso 36=18*2, poi accordo ambiguo 5+4+5 (forse =2+3+4+5 o viceversa 5+4+3+2). Continua attraverso lo stesso ritmo ostinato 3+1 una parte pp a metronomi leggermente variabili. Ecco la ‘numerica’ sempre di accordi triangolari, basata sulle due formule precedenti :

55=3*15+10 ; 66=21+3*15 ; 28=3*6+10 ; 21=3*6+3; 15=3*3+6 ; 36=6+3*10 ; 45=3*10+15 (quest’ultima la più ricca di riferimenti incrociati agli aggregati precedenti, in questo l’intuizione musicale non è indietro alle formule matematiche, spesso anzi le anticipano).

Pag.12 fino a inizio pag.13 suddividono ambiti triangolari, da molto grandi a sempre più piccoli e raccolti scomponendoli in due ‘triangoli’ e un rettangolo (qui posto sempre nel registro medio), secondo questa formula: T(n+k)=Tn+nk+Tk. Si parte dal 66= T4+4*7+T7 = T5+5*6+T6 = T6+6*5+T5 = T7+7*4+T4

LE ultime due mis. o somme sono simmetriche alle prime, cambia solo la distribuzione dei registri, musicalmente non banale, tanto più che la condotta delle parti è di particolare continuità da una misura all’altra, costituendo una crescita molto naturale. A metà pag.12 una simile configurazione pare dall’ambito 28, particolarmente ostinata, bisogna evidenziare i suoni legati tratti fuori dal blocco di sfondo sempre simile degli accordi di base in semicrome.

Ritmicamente tutto ciò scorre su un calmo fluire uguale di crome, fino alla sospensione aritmica di pag. 13 primo rigo, sulla (finalmente) semplice sequenza T ascendente da 1 a 28. Il punto di partenza, A440, già ostinato, è (era già) la sorgente di una simmetrica serie T discendente; esse si combinano (da p.13 secondo rigo seconda mis.), appena sfasate: da questo sfasamento si producono i numeri quadrati, essendo Tx+T(x+1)=X^2; esposti da 1 a 49=28+21

[1] Più analiticamente, la m.d. segue i n.triangolari come prima, la m.sin. la serie di n. quadrati (segmenti di due intervalli o tre suoni consecutivi)